- Vztah mezi kartézskou rovinou, komplexní rovinou a vektorovým prostorem dimenze 2
- Vztah mezi množinami a platností výroků (např. množinový a pravdivostní důkaz De Morganových pravidel)

Logika


Orbis Pictus: Mudrctví

Wikipedie: Logika

 

S logikou jsou potíže

   Možná to bude tím, že při definici logiky používáme termín myšlení, aniž bychom si rozmysleli, co myšlení je. Zkusme tedy začít tam.

Myšlení

   Začneme od příkladu: Mějme svah hory v horské krajině:    Tento jednoduchý příklad nás vede k názoru, že myšlení je proces zpracování informace takový, aby bylo dosaženo nějakého cíle. Logika je potom věda o správném vedení tohoto procesu.

Základní entity logiky

   Vyberme je podle výše uvedeného příkladu:
Základní situace logiky
    Kdykoli řešíme nějaký problém, v jeho popisu vystupují objekty a výroky. Tím, že samotná existence objektu je také výrok, dá se říci, že řešení problému je shromažďování výroků a manipulace s nimi.

    Při manipulaci se sadou výroků se často setkáváme se dvěma situacemi:

Základ správného myšlení
   Objekty máme, situace máme - co s nimi teď? Z daných faktů vyvozujeme důsledky tak dlouho, dokud to dokážeme nebo dokud nedojdeme k něčemu, co nám připadá tak dobré, že to chceme zrealizovat. Vyvozování důsledků provádíme úsudkem (o něm podrobněji níže), většinou s použitím pravidel nazývaných implikace. Každá implikace má formu dvojice "příčina → důsledek". Příklady implikací:    S pomocí jednoduchých úsudků můžeme budovat rozsáhlé usuzovací řetězce, různě propojené dalšími logickými funkcemi. Tím získáváme obrazy reálných dějů - drahocenosti našeho pokladu znalostí.

Sbírání znalostí

   Tak, jak čas plyne, poznáváme objekty a výroky o nich. Pozorujeme dění kolem a sbíráme implikace. Protože tyto znalosti používáme při myšlení, schraňujeme je po celý život a budujeme si z nich svůj vnitřní svět.


*****

To je vše, vše co je nutné vědět a čeho se držet - všechno ostatní je odvozeno od tohoto základního schema.
 

*****

Další povídání o logice

O chytré negaci

   Negace je velmi náchylná k chybám. Je to proto, že přirozený jazyk zná několik způsobů vytváření opaku. Opakem "černé barvy" je pro někoho "bílá", pro jiného "bílá nebo barevná", pro logika je to pouze barva "nečerná".
   Tím se pro výrok "barva je černá" dosáhne žádoucí stav, kdy spolu se svou negací tvoří dvojici výroků, které pokrývají všechny možné barvy. Tento stav se nazývá "zákonem o vyloučené třetí možnosti", neboli "věci jsou buď tak nebo naopak, třetí možnost není".

O výrocích

   Tvrzení "jehličí píchá" není výrokem, protože někdy platí (smrk), někdy ne (modřín). Abychom z něj udělali výrok, musíme je doplnit, například:

O úsudku
   Úsudkem obecně rozumíme postup, jak ze známých faktů vyvodit nový poznatek. Nejčastějšími typy úsudků jsou:
Chyby v myšlení
   Většina chyb v myšlení jsou chyby úsudku:    K tomu stačí přimíchat špatně vytvořené negace a neuvěřitelný propletenec je hotov.

Logika prakticky

   V  praxi  se často musíme rozhodovat i přesto, že nemáme dostatek informace pro splnění podmínek úsudku - například:    Neúmyslné chyby jsou námětem diskuze, úmyslné chyby jsou základem taktiky politiků a právníků. Pak se jim říká překrucování faktů, desinterpretace, zavádějící argumentace atd.

Ekvivalence

   Stane-li se, že "A → B" a současně "B → A", nastává A i vždy B současně. Pro takovou situaci zavádíme název "ekvivalence". Lidově se označuje jako "dvě strany jedné mince". Ze všech lidí na světě ji mají nejraději fyzikové a matematici, protože jim zjednodušuje  teorie.

O množinovém zápisu

    Přirozeným znázorněním logických úloh je množinový zápis - konjunkce se znázorňuje jako průnik množin, disjunkce jako jejich sjednocení.
 
 

O formální logice

   Pro zvládnutí složitějších úkonů nevystačíme se slovním ani s množinovým popisem. Proto se zavádí zápis pomocí formulí. Ty obsahují:    Příklady zápisu formulí:    Můžeme sestavovat i složitější formule, například:    Formule otevírají obrovský prostor kombinací symbolů. Abychom se v něm vyznali je třeba si ujasnit jeho nejjednodušší části:    Potom můžeme uvažovat o zbytku.
 
 

Přehled logických funkcí pro 1 argument

 
Argument f01 f01
  ¬
1 1 0
0 0 1

   Přehled určuje dvě funkce:


Přehled logických funkcí pro 2 argumenty



 

Argumenty  f01   f02   f03   f04   f05   f06   f07   f08   f09   f10   f11   f12   f13   f14   f15   f16 
  ∨     →   ↔ ∧                
<1 1> 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
<1 0> 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
<0 1> 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
<0 0> 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

   Z nich již známe čtyři funkce - jsou označeny symboly v druhém řádku tabulky.

   Některé další mají také jednoduše pochopitelný význam:


O implikaci

   Pohledem do tabulky se nám funkce f05 - implikace - jeví dosti nenápadně. A přesto právě ona je základem logiky myšlení. Můžeme se ptát proč - odpověď je odpovědí kruhem (tak zvaná tautologie):    To je přesně smysl vertikální čtveřice <1 0 1 1> pod funkcí f05 v tabulce. Opravdoví logici se dokáží bez implikace obejít, umí ji nahradit například Shefferovou funkcí. Jde to však jen v teoretické rovině nebo ve světě elektrických logických obvodů, protože pouze a jen implikace má ony jednoduché vlastnosti uvedené výše.
 
O tautologii
   Vedle toho, že logika mluví o věci tak notoricky známé, jako je myšlení, má ještě jednu nemilou vlastnost: Vůbec ji totiž nezajímá svět kolem. Nepátrá po obloze jako astronomie, nezkoumá jevy jako třeba optika, ani si nestaví nové světy jako matematika. Vystačí si s tím, co už v hlavně máme - v tom se blíží tvrzením klasiků.

   Logika pouze tvoří nové výroky z výroků, které jsou dány. Z tohoto pohledu je činnost logiky následující:

   Příkladem tautologií jsou tzv. De Morganova pravidla:
Odkazy