A Mathematician’s Apology
G. H. Hardy
First Published November 1940

As fifty or more years have passed since
the death of the author, this book is now
in the public domain in the Dominion of
Canada.

First Electronic Edition, Version 1.0
March 2005
Published by the
University of Alberta Mathematical Sciences Society
Available on the World Wide Web at
http://www.math.ualberta.ca/mss/
 

To
JOHN LOMAS
who asked me to write it

Preface
I am indebted for many valuable criticisms to Professor C. D.
Broad and Dr C. P. Snow, each of whom read my original
manuscript. I have incorporated the substance of nearly all of
their suggestions in my text, and have so removed a good many
crudities and obscurities.
In one case, I have dealt with them differently. My §28 is
based on a short article which I contributed to Eureka (the journal
of the Cambridge Archimedean Society) early in the year, and I
found it impossible to remodel what I had written so recently and
with so much care. Also, if I had tried to meet such important
criticisms seriously, I should have had to expand this section so
much as to destroy the whole balance of my essay. I have
therefore left it unaltered, but have added a short statement of the
chief points made by my critics in a note at the end.
G. H. H.
18 July 1940
1
1
It is a melancholy experience for a professional mathematician to
find himself writing about mathematics. The function of a
mathematician is to do something, to prove new theorems, to add
to mathematics, and not to talk about what he or other mathematicians
have done. Statesmen despise publicists, painters despise
art-critics, and physiologists, physicists, or mathematicians have
usually similar feelings: there is no scorn more profound, or on
the whole more justifiable, than that of the men who make for the
men who explain. Exposition, criticism, appreciation, is work for
second-rate minds.
I can remember arguing this point once in one of the few
serious conversations that I ever had with Housman. Housman, in
his Leslie Stephen lecture The Name and Nature of Poetry, had
denied very emphatically that he was a ‘critic’; but he had denied
it in what seemed to me a singularly perverse way, and had
expressed an admiration for literary criticism which startled and
scandalized me.
He had begun with a quotation from his inaugural lecture,
delivered twenty-two years before—
Whether the faculty of literary criticism is the best
gift that Heaven has in its treasures, I cannot say; but
Heaven seems to think so, for assuredly it is the gift
most charily bestowed. Orators and poets…, if rare in
comparison with blackberries, are commoner than returns
of Halley's comet: literary critics are less common…
And he had continued—
In these twenty-two years I have improved in some
respects and deteriorated in others, but I have not so
much improved as to become a literary critic, nor so
much deteriorated as to fancy that I have become one.
2
It had seemed to me deplorable that a great scholar and a fine
poet should write like this, and, finding myself next to him in
Hall a few weeks later, I plunged in and said so. Did he really
mean what he had said to be taken very seriously? Would the life
of the best of critics really have seemed to him comparable with
that of a scholar and a poet? We argued the questions all through
dinner, and I think that finally he agreed with me. I must not seem
to claim a dialectical triumph over a man who can no longer
contradict me, but ‘Perhaps not entirely’ was, in the end, his reply
to the first question, and ‘Probably no’ to the second.
There may have been some doubt about Housman's feelings,
and I do not wish to claim him as on my side; but there is no
doubt at all about the feelings of men of science, and I share them
fully. If then I find myself writing, not mathematics, but ‘about’
mathematics, it is a confession of weakness, for which I may
rightly be scorned or pitied by younger and more vigorous
mathematicians. I write about mathematics because, like any
other mathematician who has passed sixty, I have no longer the
freshness of mind, the energy, or the patience to carry on
effectively with my proper job.
2
I propose to put forward an apology for mathematics; and I may
be told that it needs none, since there are now few studies more
generally recognized, for good reasons or bad, as profitable and
praiseworthy. This may be true: indeed it is probable, since the
sensational triumphs of Einstein, that stellar astronomy and
atomic physics are the only sciences which stand higher in
popular estimation. A mathematician need not now consider
himself on the defensive. He does not have to meet the sort of
opposition describe by Bradley in the admirable defence of
metaphysics which forms the introduction to Appearance and
Reality.
3
A metaphysician, says Bradley, will be told that ‘metaphysical
knowledge is wholly impossible’, or that ‘even if possible to a
certain degree, it is practically no knowledge worth the name’.
‘The same problems,’ he will hear, ‘the same disputes, the same
sheer failure. Why not abandon it and come out? Is there nothing
else worth your labour?’ There is no one so stupid as to use this
sort of language about mathematics. The mass of mathematical
truth is obvious and imposing; its practical applications, the
bridges and steam-engines and dynamos, obtrude themselves on
the dullest imagination. The public does not need to be convinced
that there is something in mathematics.
All this is in its way very comforting to mathematicians, but it
is hardly possible for a genuine mathematician to be content with
it. Any genuine mathematician must feel that it is not on these
crude achievements that the real case for mathematics rests, that
the popular reputation of mathematics is based largely on
ignorance and confusion, and there is room for a more rational
defence. At any rate, I am disposed to try to make one. It should
be a simpler task than Bradley’s difficult apology.
I shall ask, then, why is it really worth while to make a serious
study of mathematics? What is the proper justification of a
mathematician’s life? And my answers will be, for the most part,
such as are expected from a mathematician: I think that it is worth
while, that there is ample justification. But I should say at once
that my defence of mathematics will be a defence of myself, and
that my apology is bound to be to some extent egotistical. I
should not think it worth while to apologize for my subject if I
regarded myself as one of its failures.
Some egotism of this sort is inevitable, and I do not feel that it
really needs justification. Good work is no done by ‘humble’
men. It is one of the first duties of a professor, for example, in
any subject, to exaggerate a little both the importance of his
subject and his own importance in it. A man who is always asking
‘Is what I do worth while?’ and ‘Am I the right person to do it?’
4
will always be ineffective himself and a discouragement to
others. He must shut his eyes a little and think a little more of his
subject and himself than they deserve. This is not too difficult: it
is harder not to make his subject and himself ridiculous by
shutting his eyes too tightly.
3
A man who sets out to justify his existence and his activities has
to distinguish two different questions. The first is whether the
work which he does is worth doing; and the second is why he
does it, whatever its value may be. The first question is often very
difficult, and the answer very discouraging, but most people will
find the second easy enough even then. Their answers, if they are
honest, will usually take one or other of two forms; and the
second form is a merely a humbler variation of the first, which is
the only answer we need consider seriously.
(1) ‘I do what I do because it is the one and only thing that I
can do at all well. I am a lawyer, or a stockbroker, or a professional
cricketer, because I have some real talent for that particular
job. I am a lawyer because I have a fluent tongue, and am
interested in legal subtleties; I am a stockbroker because my
judgment of the markets is quick and sound; I am a professional
cricketer because I can bat unusually well. I agree that it might be
better to be a poet or a mathematician, but unfortunately I have no
talent for such pursuits.’
I am not suggesting that this is a defence which can be made
by most people, since most people can do nothing at all well. But
it is impregnable when it can be made without absurdity, as it can
by a substantial minority: perhaps five or even ten percent of men
can do something rather well. It is a tiny minority who can do
something really well, and the number of men who can do two
things well is negligible. If a man has any genuine talent he
5
should be ready to make almost any sacrifice in order to cultivate
it to the full.
This view was endorsed by Dr Johnson
When I told him that I had been to see [his namesake]
Johnson ride upon three horses, he said ‘Such a
man, sir, should be encouraged, for his performances
show the extent of the human powers ...’—
and similarly he would have applauded mountain climbers,
channel swimmers, and blindfold chess-players. For my own part,
I am entirely in sympathy with all such attempts at remarkable
achievement. I feel some sympathy even with conjurors and
ventriloquists and when Alekhine and Bradman set out to beat
records, I am quite bitterly disappointed if they fail. And here
both Dr Johnson and I find ourselves in agreement with the
public. As W. J. Turner has said so truly, it is only the
‘highbrows’ (in the unpleasant sense) who do not admire the ‘real
swells’.
We have of course to take account of the differences in value
between different activities. I would rather be a novelist or a
painter than a statesman of similar rank; and there are many roads
to fame which most of us would reject as actively pernicious. Yet
it is seldom that such differences of value will turn the scale in a
man’s choice of a career, which will almost always be dictated by
the limitations of his natural abilities. Poetry is more valuable
than cricket, but Bradman would be a fool if he sacrificed his
cricket in order to write second-rate minor poetry (and I suppose
that it is unlikely that he could do better). If the cricket were a
little less supreme, and the poetry better, then the choice might be
more difficult: I do not know whether I would rather have been
Victor Trumper or Rupert Brooke. It is fortunate that such
dilemmas are so seldom.
I may add that they are particularly unlikely to present themselves
to a mathematician. It is usual to exaggerate rather grossly
the differences between the mental processes of mathematicians
6
and other people, but it is undeniable that a gift for mathematics
is one of the most specialized talents, and that mathematicians as
a class are not particularly distinguished for general ability or
versatility. If a man is in any sense a real mathematician, then it is
a hundred to one that his mathematics will be far better than
anything else he can do, and that he would be silly if he surrendered
any decent opportunity of exercising his one talent in order
to do undistinguished work in other fields. Such a sacrifice could
be justified only by economic necessity or age.
4
I had better say something here about this question of age, since it
is particularly important for mathematicians. No mathematician
should ever allow himself to forget that mathematics, more than
any other art or science, is a young man's game. To take a simple
illustration at a comparatively humble level, the average age of
election to the Royal Society is lowest in mathematics. We can
naturally find much more striking illustrations. We may consider,
for example, the career of a man who was certainly one of the
world's three greatest mathematicians. Newton gave up mathematics
at fifty, and had lost his enthusiasm long before; he had
recognized no doubt by the time he was forty that his greatest
creative days were over. His greatest idea of all, fluxions and the
law of gravitation, came to him about 1666 , when he was twentyfour—'
in those days I was in the prime of my age for invention,
and minded mathematics and philosophy more than at any time
sine'. He made big discoveries until he was nearly forty (the
'elliptic orbit' at thirty-seven), but after that he did little but polish
and perfect.
Galois died at twenty-one, Abel at twenty-seven, Ramanujan at
thirty-three, Riemann at forty. There have been men who have
done great work a good deal later; Gauss's great memoir on
differential geometry was published when he was fifty (though he
7
had had the fundamental ideas ten years before). I do not know an
instance of a major mathematical advance initiated by a man past
fifty. If a man of mature age loses interest in and abandons
mathematics, the loss is not likely to be very serious either for
mathematics or for himself.
On the other hand the gain is no more likely to be substantial:
the later records of mathematicians are not particularly encouraging.
Newton made a quite competent Master of the Mint (when
he was not quarrelling with anybody). Painlevé was a not very
successful Premier of France. Laplace’s political career was
highly discreditable, but he is hardly a fair instance since he was
dishonest rather than incompetent, and never really ‘gave up’
mathematics. It is very hard to find an instance of a first-rate
mathematician who has abandoned mathematics and attained
first-rate distinction in any other field.1 There may have been
young men who would have been first-rate mathematician if they
had stuck in mathematics, but I have never heard of a really
plausible example. And all this is fully borne out by my very own
limited experience. Every young mathematician of real talent
whom I have known has been faithful to mathematics, and not
form lack of ambition but from abundance of it; they have all
recognized that there, if anywhere, lay the road to a life of any
distinction.
5
There is also what I call the ‘humbler variation’ of the standard
apology; but I may dismiss this in a very few words.
(2) ‘There is nothing that I can do particularly well. I do what I
do because it came my way. I really never had a chance of doing
anything else.’ And this apology too I accept as conclusive. It is
quite true that most people can do nothing well. If so, it matters
very little what career they choose, and there is really nothing
1 Pascal seems the best
8
more to say about it. It is a conclusive reply, but hardly one likely
to be made by a man with any pride; and I may assume that none
of us would be content with it.
6
It is time to begin thinking about the first question which I put in
§3, and which is so much more difficult than the second. Is
mathematics, what I and other mathematicians mean by mathematics,
worth doing; and if so, why?
I have been looking again at the first pages of the inaugural
lecture which I gave at Oxford in 1920 , where there is an outline
of an apology for mathematics. It is very inadequate (less than a
couple of page), and is written in a style (a first essay, I suppose,
in what I then imagined to be the ‘Oxford manner’) of which I am
not now particularly proud; but I still feel that, however much
development it may need, it contains the essentials of the matter. I
will resume what I said then, as a preface to a fuller discussion.
(1) I began by laying stress on the harmlessness of mathematics—‘
the study of mathematics is, if an unprofitable, a perfectly
harmless and innocent occupation’. I shall stick to that, but
obviously it will need a good deal of expansion and explanation.
Is mathematics ‘unprofitable’? In some ways, plainly, it is not;
for example, it gives great pleasure to quite a large number of
people. I was thinking of ‘profit’, however, in a narrower sense.
Is mathematics ‘useful’, directly useful, as other sciences such as
chemistry and physiology are? This is not an altogether easy or
uncontroversial question, and I shall ultimately say No, though
some mathematicians, and some outsiders, would no doubt say
Yes. And is mathematics ‘harmless’? Again the answer is not
obvious, and the question is one which I should have in some
ways preferred to avoid, since it raises the whole problem of the
effect of science on war. Is mathematics harmless, in the sense in
9
which, for example, chemistry plainly is not? I shall have to come
back to both these questions later.
(2) I went on to say that ‘the scale of the universe is large and,
if we are wasting our time, the waste of the lives of a few
university dons is no such overwhelming catastrophe’; and here I
may seem to be adopting, or affecting, the pose of exaggerated
humility which I repudiated a moment ago. I am sure that that
was not what was really in my mind: I was trying to say in a
sentence that which I have said at much greater length in §3. I
was assuming that we dons really had our little talents, and that
we could hardly be wrong if we did our best to cultivate them
further.
(3) Finally (in what seem to me now some rather painfully
rhetorical sentences) I emphasized the permanence of mathematical
achievement—
What we do may be small, but it has a certain character
of permanence; and to have produced anything of
the slightest permanent interest, whether it be a copy of
verses or a geometrical theorem, is to have done something
utterly beyond the powers of the vast majority of
men.
And—
In these days of conflict between ancient and modern
studies, there must surely be something to be said for a
study which did not begin with Pythagoras, and will
not end with Einstein, but is the oldest and the youngest
of all.
All this is ‘rhetoric’; but the substance of it seems to me still to
ring true, and I can expand on it at once without prejudicing any
of the other questions which I am leaving open.
10
7
I shall assume that I am writing for readers who are full, or have
in the past been full, of a proper spirit of ambition. A man’s first
duty, a young man’s at any rate, is to be ambitious. Ambition is a
noble passion which may legitimately take many forms; there was
something noble in the ambitions of Attila or Napoleon; but the
noblest ambition is that of leaving behind something of permanent
value—
Here, on the level sand,
Between the sea and land,
What shall I build or write
Against the fall of night?
Tell me of runes to grave
That hold the bursting wave,
Or bastions to design,
For longer date than mine.
Ambition has been the driving force behind nearly all the best
work of the world. In particular, practically all substantial
contributions to human happiness have been made by ambitious
men. To take two famous examples, were not Lister and Pasteur
ambitions? Or, on a humbler level, King Gillette and William
Willet; and who in recent times have contributed more to human
comfort than they?
Physiology provides particularly good examples, just because
it is so obviously a ‘beneficial’ study. We must guard against a
fallacy common among apologist of science, the fallacy of
supposing that the men whose work most benefits humanity are
thinking much of that while they do it, that physiologists, for
example, have particularly noble souls. A physiologist may
indeed be glad to remember that his work will benefit mankind,
but the motives which provide the force and the inspiration for it
11
are indistinguishable form those of a classical scholar or a
mathematician.
There are many highly respected motives which may lead men
to prosecute research, but three which are much more important
than the rest. The first (without which the rest must come to
nothing) is intellectual curiosity, desire to know the truth. Then,
professional pride, anxiety to be satisfied with one’s performance,
the shame that overcomes any self-respecting craftsman when his
work is unworthy of his talent. Finally, ambition, desire for
reputation, and the position, even the power or the money, which
it brings. It may be fine to feel, when you have done your work,
that you have added to the happiness or alleviated the sufferings
of others, but that will not be why you did it. So if a mathematician,
or a chemist, or even a physiologist, were to tell me that the
driving force in his work had been the desired to benefit
humanity, then I should not believe him (nor should I think the
better of him if I did). His dominant motives have been those
which I have stated, and in which, surely, there is nothing of
which any decent man need be ashamed.
8
If intellectual curiosity, professional pride, and ambition are the
dominant incentives to research, then assuredly no one has a
fairer chance of satisfying them than a mathematician. His subject
is the most curious of all—there is none in which truth plays such
odd pranks. It has the most elaborate and the most fascinating
technique, and gives unrivalled openings for the display of sheer
professional skill. Finally, as history proves abundantly,
mathematical achievement, whatever its intrinsic worth, is the
most enduring of all.
We can see this even in semi-historic civilizations. The Babylonian
and Assyrian civilizations have perished; Hammurabi,
Sargon, and Nebuchadnezzar are empty names; yet Babylonian
12
mathematics is still interesting, and the Babylonian scale of 60 is
still used in astronomy. But of course the crucial case is that of
the Greeks.
The Greeks were the first mathematicians who are still ‘real’ to
us to-day. Oriental mathematics may be an interesting curiosity,
but Greek mathematics is the real thing. The Greeks first spoke a
language which modern mathematicians can understand: as
Littlewood said to me once, they are not clever schoolboys or
‘scholarship candidates’, but ‘Fellows of another college’. So
Greek mathematics is ‘permanent’, more permanent even than
Greek literature. Archimedes will be remembered when Aeschylus
is forgotten, because languages die and mathematical ideas do
not. ‘Immortality’ may be a silly word, but probably a mathematician
has the best chance of whatever it may mean.
Nor need he fear very seriously that the future will be unjust to
him. Immortality is often ridiculous or cruel: few of us would
have chosen to be Og or Ananias or Gallio. Even in mathematics,
history sometimes plays strange tricks; Rolle figures in the textbooks
of elementary calculus as if he had been a mathematician
like Newton; Farey is immortal because he failed to understand a
theorem which Haros had proved perfectly fourteen years before;
the names of five worthy Norwegians still stand in Abel’s Life,
just for one act of conscientious imbecility, dutifully performed at
the expense of their country’s greatest man. But on the whole the
history of science is fair, and this is particularly true in mathematics.
No other subject has such clear-cut or unanimously
accepted standards, and the men who are remembered are almost
always the men who merit it. Mathematical fame, if you have the
cash to pay for it, is one of the soundest and steadiest of investments.
13
9
All this is very comforting for dons, and especially for professors
of mathematics. It is sometimes suggested, by lawyers or
politicians or business men, that an academic career is one sought
mainly by cautious and unambitious persons who care primarily
for comfort and security. The reproach is quite misplaced. A don
surrenders something, and in particular the chance of making
large sums of money—it is very hard for a professor to make
£2000 a year; and security of tenure is naturally one of the
considerations which make this particular surrender easy. That is
not why Housman would have refused to be Lord Simon or Lord
Beaverbrook. He would have rejected their careers because of his
ambition, because he would have scorned to be a man forgotten
in twenty years.
Yet how painful it is to feel that, with all these advantages, one
may fail. I can remember Bertrand Russell telling me of a
horrible dream. He was in the top floor of the University Library,
about A.D. 2100 . A library assistant was going round the shelves
carrying an enormous bucket, taking down books, glancing at
them, restoring them to the shelves or dumping them into the
bucket. At last he came to three large volumes which Russell
could recognize as the last surviving copy of Principia Mathematica.
He took down one of the volumes, turned over a few
pages, seemed puzzled for a moment by the curious symbolism,
closed the volume, balanced it in his hand and hesitated.…
10
A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns.
If his patterns are more permanent than theirs, it is because they
are made with ideas. A painter makes patterns with shapes and
colours, a poet with words. A painting may embody and ‘idea’,
but the idea is usually commonplace and unimportant. In poetry,
14
ideas count for a good deal more; but, as Housman insisted, the
importance of ideas in poetry is habitually exaggerated: ‘I cannot
satisfy myself that there are any such things as poetical ideas.…
Poetry is no the thing said but a way of saying it.’
Not all the water in the rough rude sea
Can wash the balm from an anointed King.
Could lines be better, and could ideas be at once more trite and
more false? The poverty of the ideas seems hardly to affect the
beauty of the verbal pattern. A mathematician, on the other hand,
has no material to work with but ideas, and so his patterns are
likely to last longer, since ideas wear less with time than words.
The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s
must be beautiful; the ideas like the colours or the words, must fit
together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no
permanent place in the world for ugly mathematics. And here I
must deal with a misconception which is still widespread (though
probably much less so now than it was twenty years ago), what
Whitehead has called the ‘literary superstition’ that love of an
aesthetic appreciation of mathematics is ‘a monomania confined
to a few eccentrics in each generation’.
It would be quite difficult now to find an educated man quite
insensitive to the aesthetic appeal of mathematics. It may be very
hard to define mathematical beauty, but that is just as true of
beauty of any kind—we may not know quite what we mean by a
beautiful poem, but that does not prevent us from recognizing one
when we read it. Even Professor Hogben, who is out to minimize
at all costs the importance of the aesthetic element in mathematics,
does not venture to deny its reality. ‘There are, to be sure,
individuals for whom mathematics exercises a coldly impersonal
attraction.… The aesthetic appeal of mathematics may be very
real for a chosen few.’ But they are ‘few’, he suggests, and they
feel ‘coldly’ (and are really rather ridiculous people, who live in
silly little university towns sheltered from the fresh breezes of the
15
wide open spaces). In this he is merely echoing Whitehead’s
‘literary superstition’.
The fact is that there are few more ‘popular’ subjects than
mathematics. Most people have some appreciation of mathematics,
just as most people can enjoy a pleasant tune; and there are
probably more people really interested in mathematics than in
music. Appearances suggest the contrary, but there are easy
explanations. Music can be used to stimulate mass emotion, while
mathematics cannot; and musical incapacity is recognized (no
doubt rightly) as mildly discreditable, whereas most people are so
frightened of the name of mathematics that they are ready, quite
unaffectedly, to exaggerate their own mathematical stupidity.
A very little reflection is enough to expose the absurdity of the
‘literary superstition’. There are masses of chess-players in every
civilized country—in Russia, almost the whole educated
population; and every chess-player can recognize and appreciate
a ‘beautiful’ game or problem. Yet a chess problem is simply an
exercise in pure mathematics (a game not entirely, since
psychology also plays a part), and everyone who calls a problem
‘beautiful’ is applauding mathematical beauty, even if it is a
beauty of a comparatively lowly kind. Chess problems are the
hymn-tunes of mathematics.
We may learn the same lesson, at a lower level but for a wider
public, from bridge, or descending farther, from the puzzle
columns of the popular newspapers. Nearly all their immense
popularity is a tribute to the drawing power of rudimentary
mathematics, and the better makers of puzzles, such as Dudeney
or ‘Caliban’, use very little else. They know their business: what
the public wants is a little intellectual ‘kick’, and nothing else has
quite the kick of mathematics.
I might add that there is nothing in the world which pleases
even famous men (and men who have used quite disparaging
words about mathematics) quite so much as to discover, or
rediscover, a genuine mathematical theorem. Herbert Spencer
16
republished in his autobiography a theorem about circles which
he proved when he was twenty (not knowing that it had been
proved over two thousand years before by Plato). Professor
Soddy is a more recent and more striking example (but his
theorem really is his own)2.
11
A chess problem is genuine mathematics, but it is in some way
‘trivial’ mathematics. However ingenious and intricate, however
original and surprising the moves, there is something essential
lacking. Chess problems are unimportant. The best mathematics
is serious as well as beautiful—‘important’ if you like, but the
word is very ambiguous, and ‘serious’ expresses what I mean
much better.
I am not thinking of the ‘practical’ consequences of mathematics.
I have to return to that later: at present I will say only that if a
chess problem is, in the crude sense, ‘useless’, then that is equally
true of most of the best mathematics; that very little of mathematics
is useful practically, and that that little is comparatively dull.
The ‘seriousness’ of a mathematical theorem lies, not in its
practical consequences, which are usually negligible, but in the
significance of the mathematical ideas which it connects. We may
say, roughly, that a mathematical idea is ‘significant’ if it can be
connected, in a natural and illuminating way, with a large
complex of other mathematical ideas. Thus a serious mathematical
theorem, a theorem which connects significant ideas, is likely
to lead to important advance in mathematics itself and even in
other sciences. No chess problem has ever affected the general
development of scientific though: Pythagoras, Newton, Einstein
have in their times changed its whole direction.
The seriousness of a theorem, of course, does not lie in its
consequences, which are merely the evidence for its seriousness.
2 See his letter on the ‘Hexlet’ in Nature, vols. 127-9 (1936-7).
17
Shakespeare had an enormous influence on the development of
the English language, Otway next to none, but that is not why
Shakespeare was the better poet. He was the better poet because
he wrote much better poetry. The inferiority of the chess problem,
like that of Otway’s poetry, lies not in its consequences in its
content.
There is one more points which I shall dismiss very shortly, not
because it is uninteresting but because it is difficult, and because I
have no qualifications for any serious discussion in aesthetics.
The beauty of a mathematical theorem depends a great deal on its
seriousness, as even in poetry the beauty of a line may depend to
some extent on the significance of the ideas which it contains. I
quoted two lines of Shakespeare as an example of the sheer
beauty of a verbal pattern, but
After life’s fitful fever he sleeps well
seems still more beautiful. The pattern is just as fine, and in this
case the ideas have significance and the thesis is sound, so that
our emotions are stirred much more deeply. The ideas do matter
to the pattern, even in poetry, and much more, naturally, in
mathematics; but I must not try the argue the question seriously.
12
It will be clear by now that, if we are to have any chance of
making progress, I must produce example of ‘real’ mathematical
theorems, theorems which every mathematician will admit to be
first-rate. And here I am very handicapped by the restrictions
under which I am writing. On the one hand my examples must be
very simple, and intelligible to a reader who has no specialized
mathematical knowledge; no elaborate preliminary explanations
must be needs; and a reader must be able to follow the proofs as
well as the enunciations. These conditions exclude, for instance,
many of the most beautiful theorems of the theory of numbers,
such as Fermat’s ‘two square’ theorem on the law of quadratic
18
reciprocity. And on the other hand my examples should be drawn
from the ‘pukka’ mathematics, the mathematics of the working
professional mathematician; and this condition excludes a good
deal which it would be comparatively easy to make intelligible
but which trespasses on logic and mathematical philosophy.
I can hardly do better than go back to the Greeks. I will state
and prove two of the famous theorems of Greek mathematics.
They are ‘simple’ theorems, simple both in idea and in execution,
but there is no doubt at all about their being theorems of the
highest class. Each is as fresh and significant as when it has
discovered—two thousand years have not written a wrinkle on
either of them. Finally, both the statements and the proofs can be
mastered in an hour by any intelligent reader, however slender his
mathematical equipment.
1. The first is Euclid’s3 proof of the existence of an infinity of
prime numbers.
The prime numbers or primes are the numbers
(A) 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29,…
which cannot be resolved into smaller factors4. Thus 37 and 317
are prime. The primes are the material out of which all numbers
are built up by multiplication: thus 666 = 2 ⋅ 3⋅ 3⋅37 . Every number
which is not prime itself is divisible by at least one prime
(usually, of course, by several). We have to prove that there are
infinitely many primes, i.e. that the series (A) never comes to an
end.
Let us suppose that it does, and that
2, 3, 5,… , P
is the complete series (so that P is the largest prime); and let us,
on this hypothesis, consider the number Q defined by the formula
Q = (2 ⋅3⋅5⋅⋅ P) +1.
3 Elements IX 20. The real origin of many theorems in the Elements is obscure, and there
seems to be no particular reason for supposing that this one is not Euclid’s own.
4 There are technical reasons for not counting 1 as a prime.
19
It is plain that Q is not divisible by and of 2, 3, 5,…, P ; for it
leaves the remainder 1 when divided by any one of these
numbers. But, if not itself prime, it is divisible by some prime,
and therefore there is a prime (which may be Q itself) greater
than any of them. This contradicts our hypothesis, that there is no
prime greater than P ; and therefore this hypothesis is false.
The proof is by reductio ad absurdum, and reductio ad absurdum,
which Euclid loved so much, is one of a mathematician’s
finest weapons5. It is a far finer gambit than any chess gambit: a
chess player may offer the sacrifice of a pawn or even a piece, but
a mathematician offers the game.
13
2. My second example is Pythagoras’s6 proof of the ‘irrationality’
of 2 . A ‘rational number’ is fraction
b
a , where a and b are
integers: we may suppose that a and b have no common factor,
since if they had we could remove it. To say that ‘ 2 is irrational’
is merely another way of saying that 2 cannot be expressed
in the form
2
⎟⎠

⎜⎝

b
a ; and this is the same as saying that the equation
(B) a2 = 2b2
cannot be satisfied by integral values of a and b which have no
common factor. This is a theorem of pure arithmetic, which does
not demand any knowledge of ‘irrational numbers’ or depend on
any theory about their nature.
We argue again by reductio ad absurdum; we suppose that (B)
is true, a and b being integers without any common factor. It
follows from (B) that a2 is even (since 2b2 is divisible by 2), and
5 The proof can be arranged so as to avoid a reductio, and logicians of some schools would
prefer that it should be.
6 The proof traditionally ascribed to Pythagoras, and certainly a product of his school. The
theorem occurs, in a much more general form, in Euclid (Elements X 9).
20
therefore that a is even (since the square of an odd number is
odd). If a is even then
(C) a = 2c
for some integral value of c ; and therefore
2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2
or
(D) b2 = 2c2
Hence b2 is even, and therefore (for the same reason as before)
b is even. That is to say, a and b are both even, and so have
common factor 2 . This contradicts our hypothesis, and therefore
the hypothesis is false.
It follows from Pythagoras’s theorem that the diagonal of a
square is incommensurable with the side (that their ratio is not a
rational number, that there is no unit of which both are integral
multiples). For if we take the side as our unit of length, and the
length of the diagonal is d , then, by a very familiar theorem also
ascribed to Pythagoras7,
d 2 =12 +12 = 2
So that d cannot be a rational number.
I could quote any number of fine theorems from the theory of
numbers whose meaning anyone can understand. For example,
there is what is called ‘the fundamental theorem of arithmetic’,
that any integer can be resolved, in one way only, into a product
of primes. Thus 666 = 2 ⋅ 3⋅ 3⋅37 , and there is no other decomposition;
it is impossible that 666 = 2 ⋅11⋅ 29 or that 13⋅89 = 17 ⋅ 73 (and
we can see so without working out the products). This theorem is,
as its name implies, the foundation of higher arithmetic; but the
proof, although not ‘difficult’, requires a certain amount of
preface and might be found tedious by an unmathematical reader.
Another famous and beautiful theorem is Fermat’s ‘two
square’ theorem. The primes may (if we ignore the special prime
2) be arranged in two classes; the primes
5,13,17, 29, 37, 41,…
7 Euclid, Elements I 47.
21
which leave remainder 1 when divided by 4, and the primes
3, 7,11,19, 23, 31,…
which leave remainder 3. All the primes of the first class, and
none of the second, can be expressed as the sum of two integral
squares: thus
17 1 4 , 29 2 5 ;
5 1 2 , 13 2 3 ,
2 2 2 2
2 2 2 2
= + = +
= + = +
but 3, 7, 11, and 19 are not expressible in this way (as the reader
may check by trial). This is Fermat’s theorem, which is ranked,
very justly, as one of the finest of arithmetic. Unfortunately, there
is no proof within the comprehension of anybody but a fairly
expert mathematician.
There are also beautiful theorems in the ‘theory of aggregates’
(Mengenlehre), such as Cantor’s theorem of the ‘nonenumerability’
of the continuum. Here there is just the opposite
difficulty. The proof is easy enough, when once the language has
been mastered, but considerable explanation is necessary before
the meaning of the theorem becomes clear. So I will not try to
give more examples. Those which I have given are test cases, and
a reader who cannot appreciate them is unlikely to appreciate
anything in mathematics.
I said that a mathematician was a maker of patterns of ideas,
and that beauty and seriousness were the criteria by which his
patterns should be judged. I can hardly believe that anyone who
has understood the two theorems will dispute that they pass these
tests. If we compare them with Dudeney’s most ingenious
puzzles, or the finest chess problems the masters of that art have
composed, their superiority in both respects stands out: there is an
unmistakable difference of class. They are much more serious,
and also much more beautiful: can define, a little more closely,
where their superiority lies?
22
14
In the first place, the superiority of the mathematical theorems in
seriousness is obvious and overwhelming. The chess problem is
the product of an ingenious but very limited complex of ideas,
which do not differ from one another very fundamentally and
have no external repercussions. We should think in the same way
if chess had never been invented, whereas the theorems of Euclid
and Pythagoras have influenced thought profoundly, even outside
mathematics.
Thus Euclid’s theorem is vital for the whole structure of
arithmetic. The primes are the raw material out of which we have
to build arithmetic, and Euclid’s theorem assures us that we have
plenty of material for the task. But the theorem of Pythagoras has
wider applications and provides a better text.
We should observe first that Pythagoras’s argument is capable
of far reaching extension, and can be applied, with little change of
principle to very wide classes of ‘irrationals’. We can prove very
similarly (as Theaetetus seems to have done) that
3, 5, 11, 13, 17
are irrational, or (going beyond Theaetetus) that 3 2 and 3 17 are
irrational8.
Euclid’s theorem tells us that we have a good supply of material
for the construction of a coherent arithmetic of the integers.
Pythagoras’s theorem and its extensions tell us that, when we
have constructed this arithmetic, it will not prove sufficient for
our needs, since there will be many magnitudes which obtrude
themselves upon our attention and which it will be unable to
measure: the diagonal of the square is merely the most obvious
example. The profound importance of this discovery was
recognized at once by the Greek mathematicians. They had begun
8 See Ch. IV of Hardy and Wright’s Introduction to the Theory of Numbers, where there are
discussions of different generalizations of Pythagoras’s argument, and of a historical
puzzled about Theaetetus.
23
by assuming (in accordance, I suppose, with the ‘natural’ dictates
of ‘common sense’) that all magnitudes of the same kind are
commensurable, that any two lengths, for example, are multiples
of some common unit, and they had constructed a theory of
proportion based on this assumption. Pythagoras’s discovery
exposed the unsoundness of this foundation, and led to the
construction of the much more profound theory of Eudoxus
which is set out in the fifth book of the Elements, and which is
regarded by many modern mathematicians as the finest achievement
of Greek mathematics. The theory is astonishingly modern
in spirit, and may be regarded as the beginning of the modern
theory of irrational number, which has revolutionized mathematical
analysis and had much influence on recent philosophy.
There is no doubt at all, then, of the ‘seriousness’ of either
theorem. It is therefore the better worth remarking that neither
theorem has the slightest ‘practical’ importance. In practical
application we are concerned only with comparatively small
numbers; only stellar astronomy and atomic physics deal with
‘large’ numbers, and they have very little more practical
importance, as yet, than the most abstract pure mathematics. I do
not know what is the highest degree of accuracy ever useful to an
engineer—we shall be very generous if we say ten significant
figures. Then
3.14159265
(the value of π to eight places of decimals) is the ratio
1000000000
314159265
of two numbers of ten digits. The number of primes less than
1,000,000,000 is 50,847,478 : that is enough for an engineer, and he
can be perfectly happy without the rest. So much for Euclid’s
theorem; and, as regards Pythagoras’s, it is obvious that irrationals
are uninteresting to an engineer, since he is concerned only
with approximations, and all approximations are rational.
24
15
A ‘serious’ theorem is a theorem which contains ‘significant’
ideas, and I suppose that I ought to try to analyse a little more
closely the qualities which make a mathematical idea significant.
This is very difficult, and it is unlikely that any analysis which I
can give will be very valuable. We can recognize a ‘significant’
idea when we see it, as we can those which occur in my two
standard theorems; but this power of recognition requires a high
degree of mathematical sophistication, and of that familiarity with
mathematical ideas which comes only from many years spent in
their company. So I must attempt some sort of analysis; and it
should be possible to make one which, however inadequate, is
sound and intelligible so far as it goes. There are two things at
any rate which seem essential, a certain generality and a certain
depth; but neither quality is easy to define at all precisely.
A significant mathematical idea, a serious mathematical
theorem, should be ‘general’ in some such sense as this. The idea
should be one which is a constituent in many mathematical
constructs, which is used in the proof of theorems of many
different kinds. The theorem should be one which, even if stated
originally (like Pythagoras’s theorem) in a quite special form, is
capable of considerable extension and is typical of a whole class
of theorems of its kind. The relations revealed by the proof
should be such as to connect many different mathematical ideas.
All this is very vague, and subject to many reservations. But it is
easy enough to see that a theorem is unlikely to be serious when it
lacks these qualities conspicuously; we have only to take
examples from the isolated curiosities in which arithmetic
abounds. I take two, almost at random, from Rouse Ball’s
Mathematical Recreations9.
(a) 8712 and 9801 are the only four-figure numbers which are
integral multiples of their ‘reversals’:
9 11th edition, 1939 (revised by H. S. M. Coxeter).
25
8712 = 4 ⋅ 2178, 9801 = 9 ⋅1089
and there are no other numbers below 10,000 which have this
property.
(b) There are just four number (after 1) which are the sums of
the cubes of their digits, viz.
371 3 7 1 , 407 4 0 7 .
153 1 5 3 , 370 3 7 0 ,
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
= + + = + +
= + + = + +
These are odd facts, very suitable for puzzle columns and
likely to amuse amateurs, but there is nothing in them which
appeals much to a mathematician. The proofs are neither difficult
nor interesting—merely a little tiresome. The theorems are not
serious; and it is plain that one reason (though perhaps not the
most important) is the extreme speciality of both the enunciations
and the proofs, which are not capable of any significant generalization.
16
‘Generality’ is an ambiguous and rather dangerous word, and we
must be careful not to allow it to dominate our discussion too
much. It is used in various senses both in mathematics and in
writings about mathematics, and there is one of these in particular,
on which logicians have very properly laid great stress, which
is entirely irrelevant here. In this sense, which is quite easy to
define, all mathematical theorems are equally and completely
general.
‘The certainty of mathematics’, says Whitehead10, ‘depends on
its complete abstract generality.’ When we assert that 2 + 3 = 5 , we
are asserting a relation between three groups of ‘things’; and
these ‘things’ are not apples or pennies, or things of any one
particular sort or another, but just things, ‘any old things’. The
meaning of the statement is entirely independent of the individualities
of the members of the groups. All mathematical ‘objects’
10 Science and the Modern World, p. 33.
26
or ‘entities’ or ‘relations’, such as ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘ + ’, or ‘ = ’, and all
mathematical propositions in which they occur, are completely
general in the sense of being completely abstract. Indeed one of
Whitehead’s words is superfluous, since generality, in this sense,
is abstractness.
This sense of the word is important, and the logicians are quite
right to stress it, since it embodies a truism which a good many
people who ought to know better are apt to forget. It is quite
common, for example, for an astronomer or a physicist to claim
that he has found a ‘mathematical proof’ that the physical
universe must behave in a particular way. All such claim, if
interpreted literally, are strictly nonsense. It cannot be possible to
prove mathematically that there will be an eclipse to-morrow,
because eclipses, and other physical phenomena, do not form part
of the abstract world of mathematics; and this, I suppose, all
astronomers would admit when pressed, however many eclipses
they may have predicted correctly.
It is obvious that we are not concerned with this sort of ‘generality’
now. We are looking for differences of generality between
one mathematical theorem and another, and in Whitehead’s sense
all are equally general. Thus the ‘trivial’ theorems (a) and (b) of
§15 are just as ‘abstract’ or ‘general’ as those of Euclid and
Pythagoras, and so is a chess problem. It makes no difference to a
chess problem whether the pieces are white and black, or red and
green, or whether there are physical ‘pieces’ at all; it is the same
problem which an expert carries easily in his head and which we
have to reconstruct laboriously with the aid of the board. The
board and the pieces are mere devices to stimulate our sluggish
imaginations, and are no more essential to the problem than the
blackboard and the chalk are to the theorems in a mathematical
lecture.
It is not this kind of generality, common to all mathematical
theorems, which we are looking for now, but the more subtle and
elusive kind of generality which I tried to describe in rough terms
27
in §15. And we must be careful not to lay too much stress even on
generality of this kind (as I think logicians like Whitehead tend to
do). It is not mere ‘piling of subtlety of generalization upon
subtlety of generalization’11 which is the outstanding achievement
of modern mathematics. Some measure of generality must be
present in any high-class theorem, but too much tends inevitably
to insipidity. ‘Everything is what it is, and not another thing’, and
the differences between things are quite as interesting as their
resemblances. We do not choose our friends because they
embody all the pleasant qualities of humanity, but because they
are the people that they are. And so in mathematics; a property
common to too many objects can hardly be very exciting, and
mathematical ideas also become dim unless they have plenty of
individuality. Here at any rate I can quote Whitehead on my side:
‘it is the large generalization, limited by a happy particularity,
which is the fruitful conception12.’
17
The second quality which I demanded in a significant idea was
depth, and this is still more difficult to define. It has something to
do with difficulty; the ‘deeper’ ideas are usually the harder to
grasp: but it is not at all the same. The ideas underlying Pythagoras’s
theorem and its generalization are quite deep, but no
mathematicians now would find them difficult. On the other hand
a theorem may be essentially superficial and yet quite difficult to
prove (as are many ‘Diophantine’ theorems, i.e. theorems about
the solution of equations in integers).
It seems that mathematical ideas are arranged somehow in
strata, the ideas in each stratum being linked by a complex of
relations both among themselves and with those above and
below. The lower the stratum, the deeper (and in general more
11 Science and the Modern World, p. 44.
12 Science and the Modern World, p. 46.
28
difficult) the idea. Thus the idea of an ‘irrational’ is deeper than
that of an integer; and Pythagoras’s theorem is, for that reason,
deeper than Euclid’s.
Let us concentrate our attention on the relations between the
integers, or some other group of objects lying in some particular
stratum. Then it may happen that one of these relations can be
comprehended completely, that we can recognize and prove, for
example, some property of the integers, without any knowledge
of the contents of lower strata. Thus we proved Euclid’s theorem
by consideration of properties of integers only. But there are also
many theorems about integers which we cannot appreciate
properly, and still less prove, without digging deeper and
considering what happens below.
It is easy to find examples in the theory of prime numbers.
Euclid’s theorem is very important, but not very deep: we can
prove that there are infinitely many primes without using any
notion deeper than that of ‘divisibility’. But new questions
suggest themselves as soon as we know the answer to this one.
There is an infinity of primes, but how is the infinity distributed?
Given a large number N, say 1080 or 101010 ,13 about how many
primes are there less than N?14 When we ask these questions, we
find ourselves in a different position. We can answer them, with
rather surprising accuracy, but only by boring much deeper,
leaving the integers above us for a while, and using the most
powerful weapons of the modern theory of functions. Thus the
theorem which answers our questions (the so-called ‘Prime
Number Theorem’) is a much deeper theorem than Euclid’s or
even Pythagoras’s.
I could multiply examples, but this notion of ‘depth’ is an
elusive one even for a mathematician who can recognize it, and I
13 It is supposed that the number of protons in the universe is about 1080 . The number 101010 ,
if written at length, would occupy about 50,000 volumes of average size.
14 As I mentioned in §14, there are 50,847,478 primes less than 1,000,000,000; but that is as
far as our exact knowledge extends.
29
can hardly suppose that I could say anything more about it here
that would be of much help to other readers.
18
There is still one point remaining over from §11, where I started
the comparison between ‘real mathematics’ and chess. We may
take it for granted now that in substance, seriousness, significance,
the advantage of the real mathematical theorem is
overwhelming. It is almost equally obvious, to a trained intelligence,
that it has a great advantage in beauty also; but this
advantage is much harder to define or locate, since the main
defect of the chess problem is plainly its ‘triviality’, and the
contrast in this respect mingles with and disturbs any more purely
aesthetic judgement. What ‘purely aesthetic’ qualities can we
distinguish in such theorems as Euclid’s or Pythagoras’s? I will
not risk more than a few disjointed remarks.
In both theorems (and in the theorems, of course, I include the
proofs) there is a very high degree of unexpectedness, combined
with inevitability and economy. The arguments take so odd and
surprising a form; the weapons used seem so childishly simple
when compared with the far-reaching results; but there is no
escape from the conclusions. There are no complications of
detail—one line of attack is enough in each case; and this is true
too of the proofs of many much more difficult theorems, the full
appreciation of which demands quite a high degree of technical
proficiency. We do not want many ‘variations’ in the proof of a
mathematical theorem: ‘enumeration of cases’, indeed, is one of
the duller forms of mathematical argument. A mathematical proof
should resemble a simple and clear-cut constellation, not a
scattered cluster in the Milky Way.
A chess problem also has unexpectedness, and a certain economy;
it is essential that the moves should be surprising, and that
every piece of the board should play its part. But the aesthetic
30
effect is cumulative. It is essential also (unless the problem is too
simple to be really amusing) that the key-move should be
followed by a good many variations, each requiring its own
individual answer. ‘If P-B5 then Kt-R6; if …. then ….; if …. then
….’—the effect would be spoilt if there were not a good many
different replies. All this is quite genuine mathematics, and has its
merits; but it is just that ‘proof by enumeration of cases’ (and of
cases which do not, at bottom, differ at all profoundly15) which a
real mathematician tends to despise.
I am inclined to think that I could reinforce my argument by
appealing to the feelings of chess-players themselves. Surely a
chess master, a player of great games and great matches, at
bottom scorns a problemist’s purely mathematical art. He has
much of it in reserve himself, and can produce it in an emergency:
‘if he had made such and such a move, then I had such and
such a winning combination in mind.’ But the ‘great game’ of
chess is primarily psychological, a conflict between one trained
intelligence and another, and not a mere collection of small
mathematical theorems.
19
I must return to my Oxford apology, and examine a little more
carefully some of the points which I postponed in §6. It will be
obvious by now that I am interested in mathematics only as a
creative art. But there are other questions to be considered, and in
particular that of the ‘utility’ (or uselessness) of mathematics,
about which there is much confusion of thought. We must also
consider whether mathematics is really quite so ‘harmless’ as I
took for granted in my Oxford lecture.
A science or an art may be said to be ‘useful’ if its development
increases, even indirectly, the material well-being and
15 I believe that it is now regarded as a merit in a problem that there should be many
variations of the same type.
31
comfort of men, if it promotes happiness, using that word in a
crude an commonplace way. Thus medicine and physiology are
useful because they relieve suffering, and engineering is useful
because it helps us to build houses and bridges, and so to raise the
standard of life (engineering, of course, does harm as well, but
that is not the question at the moment). Now some mathematics is
certainly useful in this way; the engineers could not do their job
without a fair working knowledge of mathematics, and mathematics
is beginning to find applications even in physiology. So here
we have a possible ground for a defence of mathematics; it may
not be the best, or even a particularly strong defence, but it is one
which we must examine. The ‘nobler’ uses of mathematics, if
such they be, the uses which it shares with all creative art, will be
irrelevant to our examination. Mathematics may, like poetry or
music, ‘promote and sustain a lofty habit of mind’, and so
increase the happiness of mathematicians and even of other
people; but to defend it on that ground would be merely to
elaborate what I have said already. What we have to consider
now is the ‘crude’ utility of mathematics.
20
All this may seem very obvious, but even here there is often a
good deal of confusion, since the most ‘useful’ subjects are quite
commonly just those which it is most useless for most of us to
learn. It is useful to have an adequate supply of physiologists and
engineers; but physiology and engineering are not useful studies
for ordinary men (though their study may of course be defended
on other grounds). For my own part I have never once found
myself in a position where such scientific knowledge as I possess,
outside pure mathematics, has brought me the slightest advantage.
It is indeed rather astonishing how little practical value scientific
knowledge has for ordinary men, how dull and commonplace
32
such of it as has value is, and how its value seems almost to vary
inversely to its reputed utility. It is useful to be tolerably quick at
common arithmetic (and that, of course, is pure mathematics). It
is useful to know a little French or German, a little history and
geography, perhaps even a little economics. But a little chemistry,
physics, or physiology has no value at all in ordinary life. We
know that the gas will burn without knowing its constitution;
when our cars break down we take them to a garage; when our
stomach is out of order, we go to a doctor or a drugstore. We live
either by rule of thumb or on other people’s professional
knowledge.
However, this is a side issue, a matter of pedagogy, interesting
only to schoolmasters who have to advise parents clamouring for
a ‘useful’ education for their sons. Of course we do not mean,
when we say that physiology is useful, that most people ought to
study physiology, but that the development of physiology by a
handful of experts will increase the comfort of the majority. The
questions which are important for us now are, how far mathematics
can claim this sort of utility, what kinds of mathematics can
make the strongest claims, and how far the intensive study of
mathematics, as it is understood by mathematicians, can be
justified on this ground alone.
21
It will probably be plain by now to what conclusions I am
coming; so I will state them at once dogmatically and then
elaborate them a little. It is undeniable that a good deal of
elementary mathematics—and I use the word ‘elementary’ in the
sense in which professional mathematicians use it, in which it
includes, for example, a fair working knowledge of the differential
and integral calculus—has considerable practical utility.
These parts of mathematics are, on the whole, rather dull; they are
just the parts which have the least aesthetic value. The ‘real’
33
mathematics of the ‘real’ mathematicians, the mathematics of
Fermat and Euler and Gauss and Abel and Riemann, is almost
wholly ‘useless’ (and this is as true of ‘applied’ as of ‘pure’
mathematics). It is not possible to justify the life of any genuine
professional mathematician on the ground of the ‘utility’ of his
work.
But here I must deal with a misconception. It is sometimes
suggested that pure mathematicians glory in the uselessness of
their work16, and make it a boast that it has no practical applications.
The imputation is usually based on an incautious saying
attributed to Gauss, to the effect that, if mathematics is the queen
of the sciences, then the theory of numbers is, because of its
supreme uselessness, the queen of mathematics—I have never
been able to find an exact quotation. I am sure that Gauss’s
saying (if indeed it be his) has been rather crudely misinterpreted.
If the theory of numbers could be employed for any practical and
obviously honourable purpose, if it could be turned directly to the
furtherance of human happiness or the relief of human suffering,
as physiology and even chemistry can, then surely neither Gauss
nor any other mathematician would have been so foolish as to
decry or regret such applications. But science works for evil as
well as for good (and particularly, of course, in time of war); and
both Gauss and less mathematicians may be justified in rejoicing
that there is one science at any rate, and that their own, whose
very remoteness from ordinary human activities should keep it
gentle and clean.
16 I have been accused of taking this view myself. I once said that ‘a science is said to be
useful if its development tends to accentuate the existing inequalities in the distribution of
wealth, or more directly promotes the destruction of human life’, and this sentence, written
in 1915, has been quoted (for or against me) several times. It was of course a conscious
rhetorical flourish, though one perhaps excusable at the time when it was written.
34
22
There is another misconception against which we must guard. It
is quite natural to suppose that there is a great difference in utility
between ‘pure’ and ‘applied’ mathematics. This is a delusion:
there is a sharp disctinction between the two kinds of mathematics,
which I will explain in a moment, but it hardly affects their
utility.
How do pure and applied mathematicians differ from one
another? This is a question which can be answered definitely and
about which there is general agreement among mathematicians.
There will be nothing in the least unorthodox about my answer,
but it needs a little preface.
My next two sections will have a mildly philosophical flavour.
The philosophy will not cut deep, or be in any way vital to my
main theses; but I shall use words which are used very frequently
with definite philosophical implications, and a reader might well
become confused if I did not explain how I shall use them.
I have often used the adjective ‘real’, and as we use it commonly
in conversation. I have spoken of ‘real mathematics’ and
‘real mathematicians’, as I might have spoken of ‘real poetry’ or
‘real poets’, and I shall continue to do so. But I shall also use the
word ‘reality’, and with two different connotations.
In the first place, I shall speak of ‘physical reality’, and here
again I shall be using the word in the ordinary sense. By physical
reality I mean the material world, the world of day and night,
earthquakes and eclipses, the world which physical science tries
to describe.
I hardly suppose that, up to this point, any reader is likely to
find trouble with my language, but now I am near to more
difficult ground. For me, and I suppose for most mathematicians,
there is another reality, which I will call ‘mathematical reality’;
and there is no sort of agreement about the nature of mathematical
reality among either mathematicians or philosophers. Some
35
hold that it is ‘mental’ and that in some sense we construct it,
others that it is outside and independent of us. A man who could
give a convincing account of mathematical reality would have
solved very many of the most difficult problems of metaphysics.
If he could include physical reality in his account, he would have
solved them all.
I should not wish to argue any of these questions here even if I
were competent to do so, but I will state my own position
dogmatically in order to avoid minor misapprehensions. I believe
that mathematical reality lies outside us, that our function is to
discover or observe it, and that the theorems which we prove, and
which we describe grandiloquently as our ‘creations’, are simply
our notes of our observations. This view has been held, in one
form or another, by many philosophers of high reputation from
Plato onwards, and I shall use the language which is natural to a
man who holds it. A reader who does not the philosophy can alter
the language: it will make very little difference to my conclusions.
23
The contrast between pure and applied mathematics stands out
most clearly, perhaps, in geometry. There is the science of pure
geometry17, in which there are many geometries, projective
geometry, Euclidean geometry, non-Euclidean geometry, and so
forth. Each of these geometries is a model, a pattern of ideas, and
is to be judged by the interest and beauty of its particular pattern.
It is a map or picture, the joint product of many hands, a partial
and imperfect copy (yet exact so far as it extends) of a section of
mathematical reality. But the point which is important to us now
is this, that there is one thing at any rate of which pure geometries
are not pictures, and that is the spatio-temporal reality of the
17 We must of course, for the purpose of this discussion, count as pure geometry what
mathematicians call ‘analytical’ geometry.
36
physical world. It is obvious, surely, that they cannot be, since
earthquakes and eclipses are not mathematical concepts.
The may sound a little paradoxical to an outsider, but it is a
truism to a geometer; and I may perhaps be able to make it clearer
by an illustration. Let us suppose that I am giving a lecture on
some system of geometry, such as ordinary Euclidean geometry,
and that I draw figures on the blackboard to stimulate the
imagination of my audience, rough drawings of straight lines or
circles or ellipses. It is plain, first, that the truth of the theorems
which I prove is in no way affected by the quality of my
drawings. Their function is merely to bring home my meaning to
my hearers, and, if I can do that, there would be no gain in having
them redrawn by the most skilful draughtsman. They are
pedagogical illustrations, not part of the real subject-matter of the
lecture.
Now let us go a stage further. The room in which I am lecturing
is part of the physical world, and has itself a certain pattern.
The study of that pattern, and of the general pattern of physical
reality, is a science in itself, which we may call ‘physical
geometry’. Suppose now that a violent dynamo, or a massive
gravitating body, is introduced into the room. Then the physicists
tell us that the geometry of the room is changed, its whole
physical pattern slightly but definitely distorted. Do the theorems
which I have proved become false? Surely it would be nonsense
to suppose that the proofs of them which I have given are affected
in any way. It would be like supposing that a play of Shakespeare
is changed when a reader spills his tea over a page. The play is
independent of the pages on which it is printed, and ‘pure
geometries’ are independent of lecture rooms, or of any other
detail of the physical world.
This is the points of view a pure mathematician. Applied
mathematicians, mathematical physicists, naturally take a
different view, since they are preoccupied with the physical world
itself, which also has it structure or pattern. We cannot describe
37
this pattern exactly, as we can that of a pure geometry, but we can
say something significant about it. We can describe, sometimes
fairly accurately, sometimes very roughly, the relations which
hold between some of its constituents, and compare them with the
exact relations holding between constituents of some system of
pure geometry. We may be able to trace a certain resemblance
between the two sets of relations, and then the pure geometry will
become interesting to physicists; it will give us, to that extent, a
map which ‘fits the facts’ of the physical world. The geometer
offers to the physicist a whole set of maps from which to choose.
One map, perhaps, will fit the facts better than others, and then
the geometry which provides that particular map will be the
geometry most important for applied mathematics. I may add that
even a pure mathematician may find his appreciation of this
geometry quickened, since there is no mathematician so pure that
he feels no interest at all in the physical world; but, in so far as he
succumbs to this temptations, he will be abandoning his purely
mathematical position.
24
There is another remark which suggests itself here and which
physicists may find paradoxical, though the paradox will
probably seem a good deal less than it did eighteen years ago. I
will express in much the same words which I used in 1922 in an
address to Section A of the British Association. My audience
there was composed almost entirely of physicists, and I may have
spoken a little provocatively on that account; but I would still
stand by the substance of what I said.
I began by saying that there is probably less difference between
the positions of a mathematician and of a physicist than is
generally supposed, and that the most important seems to me to
be this, that the mathematician is in much more direct contact
with reality. This may seem a paradox, since it is the physicist
38
who deals with the subject-matter usually described as ‘real’; but
a very little reflection is enough to show that the physicist’s
reality, whatever it may be, has few or none of the attributes
which common sense ascribes instinctively to reality. A chair
may be a collection of whirling electrons, or an idea in the mind
of God: each of these accounts of it may have its merits, but
neither conforms at all closely to the suggestions of common
sense.
I went on to say that neither physicists nor philosophers have
ever given any convincing account of what ‘physical reality’ is,
or of how the physicist passes, from the confused mass of fact or
sensation with which he starts, to the construction of the objects
which he calls ‘real’. Thus we cannot be said to know what the
subject-matter of physics is; but this need not prevent us from
understanding roughly what a physicist is trying to do. It is plain
that he is trying to correlate the incoherent body of crude fact
confronting him with some definite and orderly scheme of
abstract relations, the kind of scheme he can borrow only from
mathematics.
A mathematician, on the other hand, is working with his own
mathematical reality. Of this reality, as I explained in §22, I take
a ‘realistic’ and not an ‘idealistic’ view. At any rate (and this was
my main point) this realistic view is much more plausible of
mathematical than of physical reality, because mathematical
objects are so much more than what they seem. A chair or a star
is not in the least like what it seems to be; the more we think of it,
the fuzzier its outlines become in the haze of sensation which
surrounds it; but ‘2’ or ‘317’ has nothing to do with sensation,
and its properties stand out the more clearly the more closely we
scrutinize it. It may be that modern physics fits best into some
framework of idealistic philosophy—I do not believe it, but there
are eminent physicists who say so. Pure mathematics, on the
other hand, seems to me a rock on which all idealism founders:
317 is a prime, not because we think so, or because our minds are
39
shaped in one way rather than another, but because it is, because
mathematical reality is built that way.
25
These distinctions between pure and applied mathematics are
important in themselves, but they have very little bearing on our
discussion of the ‘usefulness’ of mathematics. I spoke in §21 of
the ‘real’ mathematics of Fermat and other great mathematicians,
the mathematics which has permanent aesthetic value, as for
example the best Greek mathematics has, the mathematics which
is eternal because the best of it may, like the best literature,
continue to cause intense emotional satisfaction to thousands of
people after thousands of years. These men were all primarily
pure mathematicians (though the distinction was naturally a good
deal less sharp in their days than it is now); but I was not thinking
only of pure mathematics. I count Maxwell and Einstein,
Eddington and Dirac, among ‘real’ mathematicians. The great
modern achievements of applied mathematics have been in
relativity and quantum mechanics, and these subjects are, at
present at any rate, almost as ‘useless’ as the theory of numbers.
It is the dull and elementary parts of applied mathematics, as it is
the dull and elementary parts of pure mathematics, that work for
good or ill. Time may change all this. No one foresaw the
applications of matrices and groups and other purely mathematical
theories to modern physics, and it may be that some of the
‘highbrow’ applied mathematics will become ‘useful’ in as
unexpected a way; but the evidence so far points to the conclusion
that, in one subject as in the other, it is what is commonplace
and dull that counts for practical life.
I can remember Eddington giving a happy example of the
unattractiveness of ‘useful’ science. The British Association held
a meeting in Leeds, and it was thought that the members might
like to hear something of the applications of science to the ‘heavy
40
woollen’ industry. But the lectures and demonstrations arranged
for this purpose were rather a fiasco. It appeared that the
members (whether citizens of Leeds or not) wanted to be
entertained, and the ‘heavy wool’ is not at all an entertaining
subject. So the attendance at these lectures was very disappointing;
but those who lectured on the excavations at Knossos, or on
relativity, or on the theory or prime numbers, were delighted by
the audiences that they drew.
26
What parts of mathematics are useful?
First, the bulk of school mathematics, arithmetic, elementary
algebra, elementary Euclidean geometry, elementary differential
and integral calculus. We must except a certain amount of what is
taught to ‘specialist’, such as projective geometry. In applied
mathematics, the elements of mechanics (electricity, as taught in
schools, must be classified as physics).
Next, a fair proportion of university mathematics is also useful,
that part of it which is really a development of school mathematics
with a more finished technique, and a certain amount of the
more physical subjects such as electricity and hydromechanics.
We must also remember that a reserve of knowledge is always an
advantage, and that the most practical of mathematicians may be
seriously handicapped if his knowledge is the bare minimum
which is essential to him; and for this reason we must add a little
under every heading. But our general conclusion must be that
such mathematics is useful as is wanted by a superior engineer or
a moderate physicist; and that is roughly the same thing as to say,
such mathematics as has no particular aesthetic merit. Euclidean
geometry, for example, is useful in so far as it is dull—we do not
want the axiomatics of parallels, or the theory of proportion, or
the construction of the regular pentagon.
41
One rather curious conclusion emerges, that pure mathematics
is one the whole distinctly more useful than applied. A pure
mathematician seems to have the advantage on the practical as
well as on the aesthetic side. For what is useful above all is
technique, and mathematical technique is taught mainly through
pure mathematics.
I hope that I need not say that I am trying to decry mathematical
physics, a splendid subject with tremendous problems where
the finest imaginations have run riot. But is not the position of an
ordinary applied mathematician in some ways a little pathetic? If
he wants to be useful, he must work in a humdrum way, and he
cannot give full play to his fancy even when he wishes to rise to
the heights. ‘Imaginary’ universes are so much more beautiful
than this stupidly constructed ‘real’ one; and most of the finest
products of an applied mathematician’s fancy must be rejected, as
soon as they have been created, for the brutal but sufficient
reason that they do not fit the facts.
The general conclusion, surely, stands out plainly enough. If
useful knowledge is, as we agreed provisionally to say, knowledge
which is likely, now or in the comparatively near future, to
contribute to the material comfort of mankind, so that mere
intellectual satisfaction is irrelevant, then the great bulk of higher
mathematics is useless. Modern geometry and algebra, the theory
of numbers, the theory of aggregates and functions, relativity,
quantum mechanics—no one of the stands the test much better
than another, and there is no real mathematician whose life can be
justified on this round. If this be the best, then Abel, Riemann,
and Poincaré wasted their lives; their contribution to human
comfort was negligible, and the world would have been as happy
a place without them.
42
27
It may be objected that the concept of ‘utility’ has been too
narrow, that I have define it in terms of ‘happiness’ or ‘comfort’
only, and have ignored the general ‘social’ effects of mathematics
on which recent writers, with very different sympathies, have laid
so much stress. Thus Whitehead (who has been a mathematician)
speaks of ‘the tremendous effort of mathematical knowledge on
the lives of men, on their daily avocations, on the organization of
society’; and Hogben (who is as unsympathetic to what I and
other mathematicians call mathematics as Whitehead is sympathetic)
says that ‘without a knowledge of mathematics, the
grammar of size and order, we cannot plan the rational society in
which there will be leisure for all and poverty for none’ (and
much more to the same effect).
I cannot really believe that all this eloquence will do much to
comfort mathematicians. The language of both writers is violently
exaggerated, and both of them ignore very obvious distinctions.
This is very natural in Hogben’s case, since he is admittedly not a
mathematician; he means by ‘mathematics’ the mathematics
which he can understand, and which I have called ‘school’
mathematics. This mathematics has many uses, which I have
admitted, which we can call ‘social’ if we please, and which
Hogben enforces with many interesting appeals to the history of
mathematical discovery. It is this which gives his book its merit,
since it enables him to make plain, to many readers who never
have been and never will be mathematicians, that there is more in
mathematics than they though. But he has hardly any understanding
of ‘real’ mathematics (as any one who reads what he says
about Pythagoras’s theorem, or about Euclid and Einstein, can tell
at one), and still less sympathy with it (as he spares no pains to
show). ‘Real’ mathematics is to him merely an object of
contemptuous pity.
43
It is not lack of understanding or of sympathy which is the
trouble in Whitehead’s cases; but he forgets, is his enthusiasm,
distinctions with which he is quite familiar. The mathematics
which has this ‘tremendous effect’ on the ‘daily avocations of
men’ and on ‘the organization of society’ is not the Whitehead
but the Hogben mathematics. The mathematics which can be used
‘for ordinary purposes by ordinary men’ is negligible, and that
which can be used by economists or sociologist hardly rises to
‘scholarship standard’. The Whitehead mathematics may affect
astronomy or physics profoundly, philosophy only appreciably—
high thinking of one kind is always likely to affect high thinking
of another—but it has extremely little effect on anything else. Its
‘tremendous effects’ have been, not on men generally, but on
men like Whitehead.
28
There are then two mathematics. There is the real mathematics of
the real mathematicians, and there is what I call the ‘trivial’
mathematics, for want of a better word. The trivial mathematics
may be justified by arguments which would appeal to Hogben, or
other writers of his school, but there is no such defence for the
real mathematics, which must be justified as arts if it can be
justified at all. There is nothing in the least paradoxical or
unusual in this view, which is that held commonly by mathematicians.
We have still one more question to consider. We have concluded
that the trivial mathematics is, on the whole, useful, and
that the real mathematics, on the whole, is not; that the trivial
mathematics does, and the real mathematics does not, ‘do good’
in a certain sense; but we have still to ask whether either sort of
mathematics does harm. It would be paradoxical to suggest that
mathematics of any sort does much harm in time of peace, so that
we are driven to the consideration of the effects of mathematics
44
on war. It is every difficult to argue such questions at all
dispassionately now, and I should have preferred to avoid them;
but some sort of discussion seems inevitable. Fortunately, it need
not be a long one.
There is one comforting conclusions which is easy for a real
mathematician. Real mathematics has no effects on war. No one
has yet discovered any warlike purpose to be served by the theory
of numbers or relativity, and it seems very unlikely that anyone
will do so for many years. It is true that there are branches of
applied mathematics, such as ballistics and aerodynamics, which
have been developed deliberately for war and demand a quite
elaborate technique: it is perhaps hard to call them ‘trivial’, but
none of them has any claim to rank as ‘real’. They are indeed
repulsively ugly and intolerably dull; even Littlewood could not
make ballistics respectable, and if he could not who can? So a
real mathematician has his conscience clear; there is nothing to be
set against any value his work may have; mathematics is, as I said
at Oxford, a ‘harmless and innocent’ occupation.
The trivial mathematics, on the other hand, has many applications
in war. The gunnery experts and aeroplane designers, for
example, could not do their work without it. And the general
effect of these applications is plain: mathematics facilitates (if not
so obviously as physics or chemistry) modern, scientific, ‘total’
war.
It is not so clear as it might seem that this is to be regretted,
since there are two sharply contrasted views about modern
scientific war. The first and the most obvious is that the effect of
science on war is merely to magnify its horror, both by increasing
the sufferings of the minority who have to fight and by extending
them to other classes. This is the most natural and orthodox view.
But there is a very different view which seems also quite tenable,
and which has been stated with great force by Haldane in
Callinicus18. It can be maintained that modern warfare is less
18 J. B. S. Haldane, Callinicus: a Defence of Chemical Warfare (1924).
45
horrible than the warfare of pre-scientific times; that bombs are
probably more merciful than bayonets; that lachrymatory gas and
mustard gas are perhaps the most humane weapons yet devised
by military science; and that the orthodox view rests solely on
loos-thinking sentimentalism19. It may also by urged (though this
was not one of Haldane’s theses) that the equalization of risks
which science was expected to bring would be in the long range
salutary; that a civilian’s life is not worth more than a soldier’s,
nor a woman’s more than a man’s; that anything is better than the
concentration of savagery on one particular class; and that, in
short, the sooner war comes ‘all out’ the better.
I do not know which of these views is nearer to the truth. It is
an urgent and a moving question, but I need not argue it here. It
concerns only the ‘trivial’ mathematics, which it would be
Hogben’s business to defend rather than mine. The cases for his
mathematics may be rather more than a little soiled; the case for
mine is unaffected.
Indeed, there is more to be said, since there is one purpose at
any rate which the real mathematics may serve in war. When the
world is mad, a mathematician may find in mathematics an
incomparable anodyne. For mathematics is, of all the arts and
sciences, the most austere and the most remote, and a mathematician
should be of all men the one who can most easily take refuge
where, as Bertrand Russell says, ‘one at least of our nobler
impulses can best escape from the dreary exile of the actual
world. It is a pity that it should be necessary to make one very
serious reservation—he must not be too old. Mathematics is not a
contemplative but a creative subject; no one can draw much
consolation from it when he has lost the power or the desire to
create; and that is apt to happen to a mathematician rather soon. It
19 I do not wish to prejudge the question by this much misused word; it may be used quite
legitimately to indicate certain type of unbalanced emotion. Many people, of course, use
‘sentimentalism’ as a term of abuse for other people’s decent feelings, and ‘realism’ as a
disguise for their own brutality.
46
is a pity, but in that case he does not matter a great deal anyhow,
and it would be silly to bother about him.
29
I will end with a summary of my conclusions, but putting them in
a more personal way. I said at the beginning that anyone who
defends his subject will find that he is defending himself; and my
justification of the life of a professional mathematician is bound
to be, at bottom, a justification of my own. Thus this concluding
section will be in its substance a fragment of autobiography.
I cannot remember ever having wanted to be anything but a
mathematician. I suppose that it was always clear that my specific
abilities lay that way, and it never occurred to me to question the
verdict of my elders. I do not remember having felt, as a boy, any
passion for mathematics, and such notions as I may have had of
the career of a mathematician were far from noble. I thought of
mathematics in terms of examinations and scholarships: I wanted
to beat other boys, and this seemed to be the way in which I could
do so most decisively.
I was about fifteen when (in a rather odd way) my ambitions
took a sharper turn. There is a book by ‘Alan St Aubyn’20 called
A Fellow of Trinity, one of a series dealing with what is supposed
to be Cambridge college life. I suppose that it is a worse book
than most of Marie Corelli’s; but a book can hardly be entirely
bad if it fires a clever boy’s imagination. There are two heroes, a
primary hero called Flowers, who is almost wholly good, and a
secondary hero, a much weaker vessel, called Brown. Flowers
and Brown find many dangers in university life, but the worst is a
gambling saloon in Chesterton21 run by the Misses Bellenden,
two fascinating but extremely wicked young ladies. Flowers
survives all these troubles, is Second Wrangler and Senior
20 ‘Alan St Aubyn’ was Mrs Frances Marshall, wife of Matthew Marshall.
21 Actually, Chesterton lacks picturesque features.
47
Classic, and succeeds automatically to a Fellowship (as I suppose
he would have done then). Brown succumbs, ruins his parents,
takes to drink, is saved from delirium tremens during a thunderstorm
only by the prayers of the Junior Dean, has much difficult
in obtaining even an Ordinary Degree, and ultimately becomes a
missionary. The friendship is not shattered by these unhappy
events, and Flowers’s thought stray to Brown, with affectionate
pity, as he drinks port and eats walnuts for the first time in Senior
Combination Room.
Now Flowers was a decent enough fellow (so far as ‘Alan St
Aubyn’ could draw one), but even my unsophisticated mind
refused to accept him as clever. If he could do these things, why
not I? In particular, the final scene in Combination Room
fascinated me completely, and from that time, until I obtained
one, mathematics meant to me primarily a Fellowship at Trinity.
I found at once, when I came to Cambridge, that a Fellowship
implied ‘original work’, but it was a long time before I formed
any definite idea of research. I had of course found at school, as
every future mathematician odes, that I could often do things
much better than my teachers; and even at Cambridge, I found,
though naturally much less frequently, that I could sometimes do
things better than the College lecturers. But I was really quite
ignorant, even when I took the Tripos, of the subjects on which I
have spent the rest of my life; and I still thought of mathematics
as essentially a ‘competitive’ subject. My eyes were first opened
by Professor Love, who taught me for a few terms and gave me
my first serious conception of analysis. But the great debt which I
owe to him—he was, after all, primarily an applied mathematician—
was his advice to read Jordan’s famous Cours d’anlyse;
and I shall never forget the astonishment with which I read that
remarkable work, the first inspiration for so many mathematicians
of my generation, and learnt for the first time as I read it what
mathematics really meant. From that time onwards, I was in my
48
way a real mathematician, with sound mathematical ambitions
and a genuine passion for mathematics.
I wrote a great deal during the next ten years, but very little of
any importance; there are not more than four or five papers which
I can still remember with some satisfaction. The real crisis of my
career came ten or twelve years later, in 1911, when I began my
long collaboration with Littlewood, and in 1913, when I
discovered Ramanujan. All my best work since then has been
bound up with theirs, and it is obvious that my association with
them was the decisive event of my life. I still say to myself when
I am depressed, and find myself forced to listen to pompous and
tiresome people, ‘Well, I have done one the thing you could never
have done, and that is to have collaborated with both Littlewood
and Ramanujan on something like equal terms.’ It is to them that
I owe an unusually late maturity: I was at my best a little past
forty, when I was a professor at Oxford. Since then I have
suffered from that steady deterioration which is the common fate
of elderly men and particularly of elderly mathematicians. A
mathematician may still be competent enough at sixty, but if it is
useless to expect him to have original ideas.
It is plain now that my life, for what it is worth, is finished, and
that nothing I can do can perceptibly increase or diminish its
value. It is very difficult to be dispassionate, but I count it a
‘success’; I have had more reward and not less than was due to a
man of my particular grade of ability. I have held a series of
comfortable and ‘dignified’ positions. I have had very little
trouble with the duller routine of universities. I hate ‘teaching’,
and have had to do very little, such teaching as I have done been
almost entirely supervision of research; I love lecturing, and have
lectured a great deal to extremely able classes; and I have always
had plenty of leisure for the researches which have been the one
great permanent happiness of my life. I have found it easy to
work with others, and have collaborated on a large scale with two
exceptional mathematicians; and this has enable me to add to
49
mathematics a good deal more than I could reasonable have
expected. I have had my disappointments, like any other
mathematician, but none of them has been too serious or has
made me particularly unhappy. If I had been offered a life neither
better nor worse when I was twenty, I would have accepted
without hesitation.
It seems absurd to suppose that I could have ‘done better’. I
have no linguistic or artistic ability, and very little interest in
experimental science. I might have been a tolerable philosopher,
but not one of a very original kind. I think that I might have made
a good lawyer; but journalism is the only profession, outside
academic life, in which I should have felt really confident of my
changes. There is no doubt that I was right to be a mathematician,
if the criterion is to be what is commonly called success.
My choice was right, then, if what I wanted was a reasonable
comfortable and happy life. But solicitors and stockbrokers and
bookmakers often lead comfortable and happy lives, and it is very
difficult to see how the world is richer for their existence. Is there
any sense in which I can claim that my life has been less futile
than theirs? It seems to me again that there is only one possible
answer: yes, perhaps, but, if so, for one reason only:
I have never done anything ‘useful’. No discovery of mine has
made, or is likely to make, directly or indirectly, for good or ill,
the least difference to the amenity of the world. I have helped to
train other mathematicians, but mathematicians of the same kind
as myself, and their work has been, so far at any rate as I have
helped them to it, as useless as my own. Judged by all practical
standards, the value of my mathematical life is nil; and outside
mathematics it is trivial anyhow. I have just one chance of
escaping a verdict of complete triviality, that I may be judged to
have created something worth creating. And that I have created is
undeniable: the question is about its value.
The case for my life, then, or for that of any one else who has
been a mathematician in the same sense which I have been one, is
50
this: that I have added something to knowledge, and helped others
to add more; and that these somethings have a value which differs
in degree only, and not in kind, from that of the creations of the
great mathematicians, or of any of the other artists, great or small,
who have left some kind of memorial behind them.
51
Note
Professor Broad and Dr Snow have both remarked to me that, if I
am to strike a fair balance between the good and evil done by
science, I must not allow myself to be too obsessed by its effects
on war; and that, even when I am thinking of them, I must
remember that it has many very important effects besides those
which are purely destructive. Thus (to take the latter point first), I
must remember (a) that the organization of an entire population
for war is only possible through scientific methods; (b) that
science has greatly increased the power of propaganda, which is
used almost exclusively for evil; and (c) that it has made
‘neutrality’ almost impossible or unmeaning, so that there are no
longer ‘islands of peace’ from which sanity and restoration might
spread out gradually after war. All this, of course, tends to
reinforce the case against science. On the other hand, even if we
press this case to the utmost, it is hardly possible to maintain
seriously that the evil done by science is not altogether outweighed
by the good. For example, if ten million lives were lost
in every war, the net effect of science would still have been to
increase the average length of life. In short, my §28 is much too
‘sentimental’.
I do not dispute the justice of these criticisms, but, for the
reasons which I state in my preface, I have found it impossible to
meet them in my text, and content myself with this acknowledgement.
Dr Snow had also made an interesting point about §8. Even if
we grant that ‘Archimedes will be remembered when Aeschylus
is forgotten’, is not mathematical fame a little too ‘anonymous’ to
be wholly satisfying? We could form a fairly coherent picture of
the personality of Aeschylus (still more, of course, of Shakespeare
or Tolstoi) from their works alone, while Archimedes and
Eudoxus would remain mere names.
52
Mr J. M. Lomas put this point more picturesquely when we
were passing the Nelson column in Trafalgar square. If I had a
statue on a column in London, would I prefer the columns to be
so high that the statue was invisible, or low enough for the
features to be recognizable? I would choose the first alternative,
Dr Snow, presumably, the second.

Omluva matematika
G. H. Hardy
První Publikováno 11. 1940

Jako padesát a více let , které uplynuly od
smrti autora , tato kniha je nyní
ve veřejné sféře v nadvládě
Kanada.

První elektronická Edition , verze 1.0
03. 2005
Vydalo
University of Alberta matematických věd společnosti
Dostupné na World Wide Web v
http://www.math.ualberta.ca/mss/
 

Věnováno
JOHN LOMAS
který mě požádal, abych to napsal

Předmluva
Vděčím za mnoho cenných kritiky na profesora CD
Široké a Dr. CP Snow , z nichž každý přečíst můj původní
rukopis . Jsem včlenil podstatu téměř všechny
jejich návrhy v mém textu , a jsou tak odstraněnyvelmi mnoho
crudities a nejasnosti .
V jednom případě jsem se zabýval s nimi jinak . Můj § 28
na základě krátkého článku , který jsem přispěl k Eureka (časopis
Cambridge Archimedův společnosti ) na počátku roku , a já
zjistil, že je nemožné předělat to, co jsem napsal tak v poslední době a
s takovou péčí . Také , když jsem se snažil splnit tak důležité
kritiku vážně , měla jsem měl rozšířit tuto část tak,
stejně jako zničit celou rovnováhu mého eseje . mám
Proto vlevo je nezměněn , ale přidali krátké prohlášení
Hlavními body z mých kritiků v ​​poznámce na konci .
G. H. H.
18.července 1940
1
1
Je tomelancholický zážitek pro profesionální matematik
zjistil, že psát o matematice . Funkce
matematik je udělat něco , aby prokázal nové věty , přidat
k matematice , a ne mluvit o tom, co nebo jiných matematiků
udělal . Státníci pohrdají publicistů , malíři pohrdají
uměleckých kritiků , a fyziologové , fyzici , matematici nebo mají
obvykle podobné pocity : není pohrdání hlubší , nebo na
Celý více ospravedlnitelné , než muži , kteří se na
Muži, kteří vysvětlují . Expozice , kritika , zhodnocení , je práce pro
mysl druhořadé .
Vzpomínám si, dohadovat tento bod kdysi v jednom z mála
vážné rozhovory , které jsem kdy měl s Housman . Housman , v
jeho Leslie Stephen přednáškaJméno a příroda poezie , měl
popřel velmi důrazně , že on byl" kritik " , ale popřel
to , co se mi zdálomimořádně perverzní způsob , a měl
vyjádřil obdiv k literární kritice , která překvapen a
pohoršeně mě .
On začal citací z jeho inaugurační přednášce ,
dodávané dvacet až dva roků před -
Aťfakulta literární kritiky jenejlepší
dárek, který Nebe má ve své poklady , nemohu říci , ale
Nebe se zdá , že ano , neboť jistě to jedar
většina charily věnoval . Řečníci a básníci ... , pokud vzácné
srovnání s ostružin , jsou běžnější , než se vrátí
Halleyovy komety : literární kritici jsou méně časté ...
A on pokračoval -
V těchto dvacet-dvarok jsem se zlepšila v některých
respektuje a zhoršila v jiných , ale nemám tak
mnohem lepší , aby se stalaliterární kritik , ani tak
hodně zhoršila na fantazii , že jsem se stal jedním .
2
Zdálo se mi, žalostné , ževelký učenec ajemné
básník měl napsat takhle , a najít sám sebe vedle něj
Hallněkolik týdnů později jsem propadla a řekl to . Líbilo se mu opravdu
znamená to, co mu řekl, aby byl vzat velmi vážně ? Byživot
z nejlepších kritiků opravdu se zdálo, že se mu srovnatelné s
že učence a básníka ? Hádali jsme se na otázky po celou dobu
večeři , a já si myslím, že nakonec souhlasil se mnou . Musím se nezdá
požadovat dialektickou triumf nad mužem, který již nemůže
v rozporu mě , ale "Možná ne úplně " byl , nakonec , jeho odpověď
na první otázku , a " Spíše ne " na druhou .
Tam mohou být určité pochybnosti o Housman pocity ,
a nechci tvrdit mu , jak na mé straně , ale není tam žádný
pochybnosti vůbec o pocitech mužů vědy , a sdílím je
plně . Pokud pak jsem se ocitl psát , ne matematika , ale " o "
matematika , to jepřiznání slabosti , pro které mohu
správně opovrhovat nebo lítosti o mladší a energičtější
matematici . Píšu o matematice , protože jako každý
jiný matematik, který prošel šedesát , mám již
svěžest mysli ,energie , nebotrpělivost k provozování
efektivně s mou správnou práci .
2
Navrhuji , aby předložila omluvu pro matematiku , a mohu
být řečeno , že je třeba žádný , protože tam jsou nyní několik studií více
Obecně se uznává , z dobrých důvodů , nebo špatný , jak výnosné a
chvályhodné . To může být pravda : ve skutečnosti je pravděpodobné , protože
senzační triumfy Einstein , té hvězdné astronomii a
atomové fyziky jsou pouze vědy , které stojí vyšší
populární odhad . Matematik nemusí se považovat
Sám v defenzivě . On nemusí splňovat druh
Opozice popsat Bradley v obdivuhodné obraně
metafyzika , která tvoří úvod do vzhledu a
Reality .
3
Metafyzik , říká Bradley , bude řečeno, že " metafyzická
poznání je zcela nemožné " , nebo , že " i když je to možné , aby
Určitý stupeň , je prakticky bez znalosti stojí zanázev " .
" Stejné problémy , " bude slyšet , " stejné spory ,stejný
naprostý neúspěch . Proč ne opustit ji a vyjít ? Není nic
jinde stojí práce ? " Neexistuje nikdo tak hloupý , jak používat tento
druh jazyce o matematice . Hmotnost matematické
Pravdou je zřejmý a impozantní , jeho praktické aplikace ,
mosty a parní motory a dynama , vnucovat se na
nejhloupější představivost . Veřejnost nemusí být přesvědčen o tom,
že tam je něco, co v matematice .
To vše je svým způsobem velmi uklidňující matematiky , ale
je stěží možné proskutečné matematik se spokojit s
to . Každý skutečný matematik musí mít pocit, že není na nich
surové úspěchy , žeskutečný důvod pro matematiky spočívá , že
populární pověst matematice založen z velké části na
nevědomost a zmatek , a je zde prostor províce racionální
obrana . V každém případě , jsem ochotna pokusit se udělat jednu . To by mělo
býtjednodušší úkol , než Bradleyho obtížné omluvu .
Zeptám se tedy, proč je to opravdu stojí za to , aby sevážně
studium matematiky ? Jaký je správný odůvodnění
život matematika ? A mé odpovědi bude , z větší části ,
jako například se očekává, že z matematik : Já si myslím, že to stojí za to
zatímco , že tam je dostatek odůvodnění . Ale já jsem měl říct hned
že moje obhajoba matematiky budeobrana sebe , a
že moje omluva je povinen být do jisté míry egoista . já
Neměli bychom si myslet , že stojí za to se omluvit za mé téma , jestli jsem
považuje sám sebe jako jeden ze svých neúspěchů .
Některé egoismus tohoto druhu je nevyhnutelný , a nemám pocit, že
opravdu potřebuje odůvodnění . Dobrá práce není provést " pokorný "
muži . Je to jeden z prvních povinností profesora , například , v
jakýkoli předmět, přeháněttrochu ivýznam jeho
předmět a jeho vlastní význam v něm . Člověk, který se vždycky ptá
" Je to, co mám dělat, stojí za to ? " A " Jsem ta správná osoba na to? "
4
bude vždy neúčinné sebe a odvahy k
další. Musí zavřel oči a trochu přemýšlettrochu více jeho
podrobit a sám , než si zaslouží . To není příliš obtížné : je
je těžší, ne aby se jeho předmět a sám směšný tím,
zavřel oči příliš těsně .
3
Muž, který si klade za cíl ospravedlnit svou existenci a jeho činnost má
rozlišovat dvě různé otázky . Prvním z nich je , zda
práce , kterou dělá, je, stojí za to , adruhý je důvod, proč se
dělá to , co jeho hodnota může být . První otázka je často velmi
obtížné , aodpověď velmi odrazující , ale většina lidí bude
najít dostdruhý snadné i poté . Jejich odpovědi , pokud jsou
upřímný , bude obvykle trvat jeden nebo druhý ze dvou forem , a
Druhá forma jejenskromnější variantaprvní , která je
Jediná odpověď je třeba vážně uvažovat .
( 1 ) " dělám to, co dělám , protože to jejediná věc, kterou jsem
může dělat vůbec dobře . Jsemprávník , nebomakléř , neboprofesionální
hráč kriketu , protože mám nějaký skutečný talent , který zejména
práce . Jsemprávník , protože mám plynně jazyk , a já
zájem o právní nuance , jsemmakléř , protože my
rozsudek ze dne na trzích je rychlý a zdravý , jsemprofesionální
hráč kriketu , protože mohu pálku neobyčejně dobře . Souhlasím s tím, že by to mohlo být
lepší býtbásník nebomatematik , ale bohužel nemám
talent pro takové pronásledování . "
Netvrdím , že to jeobrana , která může být
většina lidí , protože většina lidí může dělat vůbec nic dobře . ale
je nedobytná , když to lze provést bez absurdity , jak to může
podstatnou menšinu : snad pět nebo dokonce deset procent mužů
můžete něco udělat poměrně dobře . Je tomalá menšina , která může dělat
něco opravdu dobře , apočet lidí, kteří mohou dělat dva
věci dobře, je zanedbatelný . Pokudčlověk nemá žádnou skutečnou a ukazuje mu,
5
by měl být připraven k téměř žádnou oběť , aby se kultivovat
je v plném rozsahu .
Tento názor byl potvrzen Dr. Johnson
Když jsem mu řekl , že jsem byl vidět [ svého jmenovce ]
Johnson jízda na třech koních , řekl: " Takový
muž , pane , by měly být podporovány , pro jeho výkony
ukazují rozsah lidské síly ... " -
a podobně by se tleskali horolezce ,
plavci kanálů , a blindfold šachové hráči . Za sebe ,
Jsem úplně v soucitu se všemi těmito pokusy na pozoruhodné
úspěch . Cítím se trochu soucit ani s kejklíři a
břichomluvce a když Alekhine a Bradman stanovené porazit
záznamy , jsem docela hořce zklamáni , pokud se jim nepodaří . a zde
jak Dr. Johnson a já se ocitáme v dohodě s
veřejnosti . Jako W. J. Turner řekl, tak opravdu , je to jen
" highbrows " ( v nepříjemném slova smyslu) , kteří nemají obdivovat" skutečný
zvětší " .
Musíme ovšem vzít v úvahu rozdíly v hodnotě
mezi různými činnostmi . Raději bych bylromanopisec , nebo
malíř než státník podobné hodnosti , a existuje mnoho cest
ke slávě , které by většina z nás odmítají , jak aktivně zhoubné . ještě
to je jen zřídka , že takové rozdíly v hodnotě změní měřítko v
Volba muže kariéry , která se téměř vždy podmíněny
o omezení jeho přirozených schopností . Poezie je cennější
než kriket , ale Bradman by býtblázen, kdybych obětoval svůj
kriket , aby bylo možné psát druhořadý menší poezii ( a myslím, že
že je nepravděpodobné, že by mohl dělat lépe ) . Pokudkriket byl
trochu méně nejvyšší apoezie lépe , pakvolba by mohla být
složitější : Já nevím, jestli bych raději byl
Victor Trumper nebo Rupert Brooke . Je štěstí, že takové
dilemata jsou tak zřídka .
Mohu dodat, že jsou velmi nepravděpodobné, aby se dostavil
k matematik . Je obvyklé , aby přehánět spíše hrubě
rozdíly mezi duševními procesy matematiků
6
a další lidé , ale je nesporné, žedárek pro matematiku
je jedním z nejvíce specializované talenty , a to jako matematici
třída se nijak zvlášť odlišeny pro všeobecné schopnosti nebo
všestrannost . Pokud je člověk v nějakém smysluskutečné matematik , pak je
sto ku jedné, že jeho matematika bude mnohem lepší , než
něco , co může udělat , a že by bylo hloupé , kdyby se vzdal
každá slušná příležitost vykonávat svůj jeden talent , aby
k tomu nevýrazný práci v jiných oblastech . Takováoběť mohla
být odůvodněno pouze ekonomické nutnosti nebo věku .
4
Měl bych říci něco tady o této otázce věku , protože je to
je zvláště důležité pro matematiky . žádný matematik
by nikdy dovolit zapomenout , že matematika , více než
jakékoliv jiné umění , nebo věda , je mladý muž je hra . Chcete-li se jednoduché
ilustrace na poměrně skromné ​​úrovni , průměrný věk
Volby do Královské společnosti je nejnižší v matematice . můžeme
samozřejmě najít mnohem více nápadné ilustrace . Můžeme uvažovat ,
Například ,kariéra muže, který byl jistě jedním z
Tři největší světoví matematikové . Newton vzdala matematiku
na padesát, a ztratil nadšení dlouho předtím, měl
uznán Nepochybuji o tom, v době, kdy mu bylo čtyřicet , že jeho největší
kreativní dny byly u konce . Jeho největší představa všech , fluxions a
gravitační zákon , k němu přišel o 1666 , když mu bylo twentyfour - "
V těchto dnech jsem byl na vrcholu v mém věku na vynálezu ,
a zlobil se matematika a filozofie více než kdykoli
sine " . On dělal velké objevy , až byl skoro čtyřicet (
" eliptické oběžné dráze " v sedmatřiceti ) , ale poté, co že to udělal jen málo , ale na nehty
a dokonalé .
Galois zemřel v jedenadvaceti , Abel v sedmadvaceti , Ramanujan na
třiatřicet , Riemann ve čtyřiceti . Tam byli lidé, kteří mají
udělal skvělou prácihodně později , Gaussova skvělé vzpomínky na
diferenciální geometrie byla zveřejněna , když mu bylo padesát ( i když
7
už před deseti roky) měl základní myšlenky . Nevím
instance hlavní matematické předem zahájené muže minulosti
padesát . Je-limuž zralého věku ztrácí zájem a opouští
matematika ,ztráta není pravděpodobné, že bude velmi vážný a to buď pro
matematika nebo pro sebe .
Na druhé stranězisk je více pravděpodobné, že podstatná :
pozdější záznamy matematiků nejsou příliš povzbudivé .
Newton udělal docela příslušný mistr mincovny (je-li
nebyl hádky s někým ) . Painlevé bylpříliš
úspěšné Premier Francie . Laplaceova politická kariéra byla
velmi nedůstojný , ale je jen stěžíspravedlivé instance , protože on byl
nečestné spíše než nekompetentní , a nikdy " vzdala "
matematika . Je velmi těžké najít instanci první - kurzu
matematik, který opustil matematiku a dosáhl
prvotřídní rozlišení v jakékoliv jiné field.1 Tam může být
mladí muži, kteří by se v případě, byly prvotřídní matematik se
se zasekl v matematice , ale nikdy jsem neslyšel oopravdu
věrohodný příklad . A to vše se plně potvrzuje mé vlastní
omezené zkušenosti . Každý mladý matematik skutečného talentu
kterého jsem poznal byl věrný matematice , a ne
tvoří nedostatek ambicí , ale z množství toho , že mají vše
Uznává se, že pokud kdekoli , leželo na cestě k životu jakýkoli
rozdíl .
5
K dispozici je také to, čemu říkám" skromnější varianta " standardu
omluva , ale mohou odmítnout to v několika málo slovech .
( 2 ) " Není nic, co bych mohl udělat velmi dobře . Dělám to, co jsem
dělat, protože to přišlo svou cestu . Opravdu jsem nikdy neměl šanci dělat
něco jiného . " A to omluva taky jsem přijmout jako nezvratný . to je
docela pravda, že většina lidí nemůže udělat nic dobře . Pokud ano , je to důležité
jen velmi málo toho, co kariéry si zvolí , a tam je opravdu nic
1 Pascal zdánejlepší
8
více říci o tom . Je tonezvratný odpověď , ale sotva pravděpodobné,
které mají být provedeny podle muže s žádnou hrdost , a mohu předpokládat, že žádný
z nás by se spokojit s tím .
6
Je na čase začít přemýšlet o první otázku , kterou jsem dal do
§ 3 , a který je tak mnohem obtížnější , než druhý . je
matematika , co jsem , a další matematici na mysli matematiky ,
stojí za to dělat , a pokud ano , proč ?
Byl jsem znovu podíváme na prvních stránkách inaugurační
přednáška , kterou jsem dal v Oxfordu v roce 1920 , kde jeobrys
omluva pro matematiku . Je to velmi neadekvátní ( méně než
Pár strany ) , a je psán stylem (první esej , myslím ,
ze v tom, co jsem tehdy představoval , že je" Oxford způsob " ), které jsem
ne teď obzvláště hrdí , ale stále cítím , že jakkoli
Vývoj může potřebovat , obsahuje náležitosti věci . já
bude pokračovat to, co jsem tehdy řekl , jako předmluvě k plnější diskuzi .
( 1 ) Začal jsem tím, že položí důraz na nezávadnost matematiky - "
studium matematiky je , pokudnerentabilní,dokonale
neškodné a nevinné povolání " . Budu se držet , ale
samozřejmě , že bude potřebovat hodně expanze a vysvětlení .
Je matematika " nerentabilní " ? V některých ohledech , jasně , to není ;
Například , je velkým potěšením poměrně velkého počtu
lidí. Myslel jsem, že " zisk " , ale v užším slova smyslu .
Je matematika " užitečné " , přímo užitečné , jako jiné vědy , jako jsou
chemie a fyziologie jsou ? To neníúplně snadné , nebo
nekontroverzní otázka , a já se nakonec řekl ne, i když
někteří matematici , a někteří cizinci , by bezpochyby říci,
Ano. A je matematika "neškodný" ? Opětodpověď není
zřejmé , aotázka je ten, který bych měl mít v některých
způsoby, výhodné , aby se zabránilo , neboť vyvolává celý problém
Vliv vědy na válku . Je matematika neškodné , v tom smyslu, v
9
, které , například , chemie zjevně není ? Budu muset přijít
zpět na obě tyto otázky později .
( 2 ) I pokračoval říkat, že "rozsah vesmíru je velká a ,
když jsme ztrácíme čas ,odpad ze životaněkolika
univerzitní profesoři žádná taková naprostá katastrofa " , a tady jsem
se může zdát být přijetí , nebo týkající se pózu přehnané
pokora , který jsem zavrhl před chvílí . Jsem si jist, že
nebylo to, co bylo opravdu v mé mysli : Snažil jsem se říci,
Odsuzuji to, co jsem řekl na mnohem větší délky v § 3 . já
se za předpokladu, že my profesoři opravdu měli naše malé talenty , a že
Těžko bychom být špatně, když jsme se snažili , aby jejich pěstování
další .
( 3 ) A konečně ( v tom, co se mi zdá teď některé poněkud bolestivě
rétorické věty ) jsem zdůraznil trvalost matematické
úspěch -
To, co děláme , může být malý , ale má určitý charakter
trvalosti , a aby byly vyrobeny nic
sebemenší trvalý zájem , ať už je tokopie
verše nebogeometrický teorém , je něco udělali
zcela nad rámec pravomocí převážné většiny
muži .
a -
V těchto dnech konfliktu mezi starověký a moderní
studie , tam je určitě něco, co je třeba říci o
studie, která nezačala Pythagoras , a bude
nekončí s Einsteinem , ale jenejstarší anejmladší
ze všech .
To vše je " rétorika " , alepodstata toho se mi zdá, stále
pravdivá , a mohu rozšířit na něj najednou , aniž by byla dotčena jakákoli
z dalších otázek, které jsem nechat otevřenou .
10
7
Budu předpokládat, že píšu pro čtenáře, kteří jsou plné , nebo mají
v minulosti byl plný , na správném duchu ambicí . Muž je nejprve
povinnost ,mladý muž je v každém případě , je být ambiciózní . Ambice je
ušlechtilá vášeň , která může legitimně mít mnoho podob , tam bylo
něco ušlechtilý ambice Attila či Napoleona , ale
nejušlechtilejší ambicí je, že zanechal něco trvalého
hodnota -
Tady , na úrovni písku ,
Mezi mořem a zemí ,
Co jsem se postavit , nebo napsat
Proti pádu noci ?
Řekni mi runy do hrobu
Které drží roztržení vlnu ,
Nebo bašty navrhnout ,
Pro delší den než já .
Ambition bylhnací silou téměř vše nejlepší
Práce na světě . Zejména , prakticky všechny podstatné
Příspěvky do lidského štěstí byly vyrobeny ambiciózní
muži . Chcete-li se dvě slavné příklady , nebyly Lister a Pasteur
ambice ? Nebo na pokornější úrovni , král Gillette a William
Willet , a kteří v poslední době přispěly více na člověka
pohodlí , než oni ?
Fyziologie poskytuje mimořádně dobré příklady , jen proto, že
je to tak samozřejmě" prospěšné " studie . Musíme se chránit před
klam běžné mezi obhájce vědy , klamem
za předpokladu, že jsou muži , jejichž práce je většina výhody lidstvo jsou
myslet hodně z toho , když to dělají , že fyziologové , pro
příkladem , mají obzvláště ušlechtilé duše . Fyziolog může
opravdu rádi si uvědomit, že jeho práce bude přínosem pro lidstvo ,
ale motivy , které poskytují sílu a inspiraci pro ni
11
jsou k nerozeznání tvoří ty klasického učence nebo
matematik .
Existuje mnoho vysoce respektované motivy , které mohou vést lidi
stíhat výzkum , ale tři , které jsou mnohem důležitější
než ostatní . První ( bez nížostatní musí přijít do
nic ) je intelektuální zvědavost , touha poznat pravdu . Poté ,
profesní hrdost , úzkost , aby se spokojit s něčí výkon ,
škoda, že překonává jakékoliv sebeúcty řemeslník , když jeho
Práce je hodna jeho talentu . A konečně , ambice , touha po
pověst apostavení , a to imoc nebopeníze , které
to přináší . To může být v pořádku cítit , když jste udělal svou práci ,
které jste přidali ke štěstí nebo je zmírnit utrpení
ostatních , ale to nebude , proč jsi to udělal . Takže pokudmatematik ,
nebochemik , nebo dokoncefyziolog , se mi říct, že
hybnou silou v jeho práci byložádoucí, aby ve prospěch
lidstvo , pak bych mu nevěřím ( a ani bych si,
lepší z něj , kdybych to udělal ) . Jeho dominantní motivy byly ty,
které jsem uvedl , a ve které , jistě , tam je nic
které každý slušný člověk nemusí stydět .
8
Pokud intelektuální zvědavost , profesní hrdost a ambice jsou
dominantní podněty k výzkumu , pak jistě nikdo nemá
spravedlivější šance na jejich uspokojení , než matematik . jeho předmětem
jenejvíce zvědavý na všechno , tam není nikdo , ve kterém pravda hraje jako
liché žerty . To mánejpropracovanější anejvíce fascinující
techniky , a poskytuje bezkonkurenční otvory pro zobrazení čiré
odborné dovednosti . A konečně , jak historie dokazuje hojně ,
matematický úspěch , bez ohledu na její vnitřní hodnotu , je
nejtrvalejší ze všech .
Vidíme to i v semi- historických civilizací . Babylonian
a asyrské civilizace zanikla , Hammurabi ,
Sargon , a Nabuchodonozor jsou prázdné jména , ale Babylonian
12
matematika je ještě zajímavější , aBabylonian rozsah 60 je
stále používá v astronomii . Ale samozřejmězásadní věc je, že
Řekové .
Řekové byli první matematici , kteří jsou stále ' skutečný' na
nám dnes . Orientální matematika může býtzajímavá kuriozita ,
ale řecká matematika jeskutečná věc . Řekové jako první mluvil
jazyk, který moderní matematici mohou rozumět : jako
Littlewood řekl mi jednou , že nejsou chytré žáky nebo
" kandidáti stipendia " , ale " Kolegové z jiné vysoké školy " . tak
Řecká matematika je " trvalé " , trvalejší ještě než
Řecká literatura . Archimedes se bude vzpomínat , když Aischylos
je zapomenuta , protože jazyky zemřít a matematické myšlenky dělat
ne . " Nesmrtelnost " může býthloupé slovo , ale pravděpodobněmatematik
má nejlepší šanci , co to může znamenat .
Stejně tak je třeba se bát vážně , žebudoucnost bude nespravedlivé,
ho . Nesmrtelnost je často směšné nebo krutá : málokdo z nás by
se rozhodli , že Og nebo Ananiáš nebo Gallio . Dokonce i v matematice ,
Historie někdy hraje podivné triky , Rolle figuruje v učebnicích
elementární matematické analýzy , jako kdyby bylmatematik
jako Newton , Farey je nesmrtelný , protože mu nepodařilo porozumět
Věta , která Haros dokázal dokonale před čtrnáct roků ;
jména pěti hodných Norové stále stojí v Ábela života ,
jen na jeden čin svědomitého Idiocie , poslušně provádí na
na úkor největšího muže své země . Ale v celku
Historie vědy je spravedlivé , a to platí zejména v matematice .
Žádný jiný subjekt má takový jasný - cut nebo jednomyslně
přijaté normy, a muži, kteří jsou si pamatoval téměř
vždy muži, kteří ji zaslouží . Matematické sláva , pokud máte
v hotovosti za to zaplatit , je jedním znejzdravější a rovnoměrného investic .
13
9
To vše je velmi uklidňující pro profesorů , a to zejména pro profesory
matematiky . To je někdy navrhl , právníci nebo
politici nebo podnikatelé muži , žeakademická kariéra je jeden požadován
především opatrné a ambiciózních osoby, které se starají v první řadě
pro pohodlí a bezpečnost . Výtka je zcela nevhodný . don
vzdá něco , a zejména možnost tvorby
velké sumy peněz , je to velmi těžké pro profesora , aby
2000 liberročně , a bezpečnost držby je samozřejmě jedním z
úvahy , které tvoří tento konkrétní vzdát snadno . to je
není důvod, proč Housman by odmítla být lord Simon nebo Lord
Beaverbrook . On by odmítl svou kariéru , protože jeho
ambice , protože by opovrhoval , žečlověk zapomněl
dvacet let .
Přesto , jak bolestivé je mít pocit, že se všemi těmito výhodami , jeden
může selhat . Vzpomínám si, Bertrand Russell mi vyprávěl o
hrozný sen . Byl v horním patře univerzitní knihovny ,
o A. D. 2100 . Knihovna asistent se děje kolem regálů
nesoucí obrovský kbelík , sundávat knihy , podíval se na
je , obnovit je do polic nebo dumping je do
kbelík . Konečně přišel na tři velké objemy , které Russell
mohl uznat jako posledního žijícího kopii Principia Mathematica .
Vzal jeden z objemu , obrátil seněkolik
stránky se zdálo, že zmateně se na chvíli u zvědavý symboliky ,
uzavřený objem , vyvážené ji v ruce a zaváhal ....
10
Matematik , jako malíř nebo básník , jevýrobce vzorů .
Je-li jeho vzory jsou trvalejší než oni , je to proto , že
jsou vyrobeny s nápady . Malíř dělá vzory s tvary a
barvy ,básník se slovy . Obraz může ztělesňovat a " idea " ,
alenápad je většinou samozřejmostí a nedůležité . V poezii ,
14
počítat nápady pro mnohem víc , ale , jak Housman trval na tom ,
Význam myšlenek v poezii je obvykle přehnané : " Nemohu
uspokojit sebe , že existují takové věci jako poetických nápadů ....
Poezie nenívěc, kterou řekl , alezpůsob, jak to říct . "
Ne všechna voda v drsné hrubé moře
Lze prát balzám od pomazaného krále .
Mohl by být lepší vedení , a mohl nápady být jednou banální a
více false ? Chudoba myšlenek se zdá jen těžko ovlivnit
Krása verbální vzoru . Matematik , na druhé straně ,
nemá materiál k práci s , ale nápady , a tak jeho vzory jsou
pravděpodobně trvat déle , protože myšlenky nosit méně s časem než slova .
Vzory matematik je , stejně jakomalíř čibásník je
musí být krásné , myšlenky , jako barvy nebo slova , musí být fit
spolu v harmonickém způsobem . Krása je první test: žádný
trvalé místo na světě pro ošklivé matematiky . A tady jsem
musí vypořádat s mylná představa , která je stále velmi rozšířené (i když
pravděpodobně mnohem méně , než tomu bylo před dvaceti lety ) , co
Whitehead se nazývá " literární pověra " , že láska
estetické zhodnocení matematiky je "monomanie omezen
na několika podivínů v každé generaci . "
Bylo by velmi obtížné nyní najít vzdělaný člověk zcela
necitlivý na estetickou matematiky . To může být velmi
obtížné definovat matematický krásu , ale to je stejně pravdivé
Krása jakéhokoli druhu , můžeme neví přesně to, co máme na mysli
krásná báseň , ale to nebrání tomu, aby nás od uznání jednoho
když jsme ji přečíst . Dokonce i Professor Hogben , který je mimo , aby se minimalizovalo
vůbec stojívýznam estetický prvek v matematice ,
se neodvážil popřít svou realitu . " Tam jsou , abyste se ujistili ,
jednotlivci , pro něž matematika vykonáváchladně neosobní
přitažlivost ....estetický matematiky může být velmi
reálné pro pár vyvolených . " Ale oni jsou " málo " , on navrhne , a oni
pocit, " chladně " ( a jsou opravdu spíše směšné lidé, kteří žijí v
hloupé malé univerzitní města chráněné z čerstvých vánek z
15
siroka ) . V tomto on je jen ozvěna Whitehead je
" Literární pověra " .
Faktem je, že existuje několik více " populární " subjekty než
matematika . Většina lidí má nějaké ocenění matematiky ,
stejně jako většina lidí se mohou těšit na příjemnou melodii , a tam jsou
pravděpodobně více lidí skutečně zájem v matematice než v
hudba . Appearances naznačují opak , ale tam jsou snadno
vysvětlení . Hudba může být použit ke stimulaci masové emoce , zatímco
matematika nemůže , a hudební neschopnost je uznáván ( ne
pochyb o tom, správně ) jako mírně nedůstojný , zatímco většina lidí jsou tak
strach z názvu matematiky , které jsou připraveny zcela
unaffectedly , přehánět své vlastní matematické hloupost .
Velmi málo odraz je dost odhalit absurditu
" Literární pověra " . Tam jsou masy Chess- hráčů každý
civilizovaná země , v Rusku , téměřcelý vzdělaný
populace , a každý šachista může rozpoznat a ocenit
" krásná " hra nebo problém . Přestoproblém šachy jsou prostě
cvičení v čisté matematice (hra ne úplně, protože
psychologie také hraje roli ) , a každý, kdo žádá, aby problém
' krásné ' se tleská matematickou krásu , i když je
Krása poměrně skromného druhu . Problémy Chess jsou
hymnus - melodie z matematiky .
Můžeme se dozvědět stejnou lekci , na nižší úrovni, ale i proširší
veřejnosti , z mostu , nebo sestupném dál , z puzzle
sloupce populárních novin . Téměř všechny jejich obrovský
popularita jepoctou k tažnému moc primitivní
matematika , a lepší tvůrci hádanek , jako Dudeney
nebo " Caliban " , používají velmi málo jiný . Vědí, že jejich podnikání : co
veřejnost chce, jetrochu intelektuální " kop " , a nic jiného je
docelakop z matematiky .
Mohl bych dodat, že tam není nic na světě , které potěší
i slavní muži ( a muži , kteří používají zcela pohrdavý
slov o matematice ), tak moc , jak zjistit , nebo
znovu objevit , skutečný matematický teorém . Herbert Spencer
16
publikovány v jeho autobiografiivěta o kruhů, které
dokázal, když mu bylo dvacet ( ne vědět, že to bylo
dokázal před více než dvěma tisíci lety Platón ) . profesor
Soddy jenovější a více Pozoruhodným příkladem ( avšak jeho
věta je opravdu jeho vlastní ) 2 .
11
Šachový problém je originální matematika , ale je nějakým způsobem
" Triviální " matematika . Nicméně geniální a složitý, nicméně
originální a překvapující pohyby , tam je něco důležité,
chybí . Problémy Šachy jsou nedůležité . Nejlepší matematika
je vážné , stejně jako krásné , " důležité " , pokud se vám líbí , ale
Slovo je velmi nejednoznačný , a " závažné" vyjadřuje to, co mám na mysli
mnohem lépe .
Nemám na mysli " ​​praktické " důsledky matematiky .
Musím se vrátit k tomu později : v současné době jsem vám jen říci, že pokud
šachy Problém je, že v surovém smyslu , " k ničemu " , pak je to stejně
platí pro většinu z nejlepších matematiky , že jen velmi málo z matematiky
je vhodné prakticky , a to , že malý je poměrně nudné .
" Závažnost " matematické věty spočívá , není jeho
praktické důsledky , které jsou zpravidla zanedbatelné , ale v
Význam matematických myšlenek, které je spojuje . Můžeme
říci , hrubě , žematematická myšlenka je "významný" , pokud to může být
připojen , v přírodním a svítící způsobem , svelkou
Komplex dalších matematických myšlenek . Tak vážné matematické
věta,věta , která spojuje významné nápady , je pravděpodobné,
vést k významnému pokroku v matematice samotné , a to i ve
ostatní vědy . Žádné šachy problém nikdy ovlivněn obecnými
Rozvoj vědeckého i když: Pythagoras , Newton , Einstein
se v jejich době změnila celý jeho směr .
Závažnost věty , samozřejmě nespočívá v jeho
důsledky , které jsou jendůkazy pro jeho závažnosti .
2 Viz jeho dopis na " Hexlet " v přírodě , vols . 127-9 ( 1936-7 ) .
17
Shakespeare měl obrovský vliv na vývoj
anglický jazyk , Otway vedle nikdo , ale to není důvod, proč
Shakespeare byllepší básník . On byllepší básník , protože
napsal mnohem lepší poezii . Méněcennosti problému šachů ,
jako to Otway poezie , nespočívá ve svých důsledcích v jeho
obsah .
Je tu ještě jedna bodů , které jsem se odvolává ve velmi krátké době , a to
proto, že je nezajímavé , ale proto, že je obtížné , a proto, že jsem
nemají kvalifikaci pro jakoukoli seriózní diskusi v estetice .
Krása matematické věty závisí z velké části na jeho
vážnost , protože i v poeziikrása linky může záviset na
do určité míry na významu myšlenek , které obsahuje . já
citoval dva řádky Shakespearea jako příklad naprosté
Krása slovní vzoru , ale
Po životní neklidného horečky spí dobře
Zdá se, ještě krásnější .

Vzor je stejně v pohodě , a to
případě, že myšlenky mají význam apráce je zvuk , takže
naše emoce se míchá mnohem hlouběji . Myšlenky to jedno
vzoru , a to i v poezii , a ještě mnohem více , přirozeně , v
matematika , ale musím se snažitargumentovat otázku vážně .
12
To bude jasné hned , že pokud máme mít nějakou šanci
pokrok , musím vyrobit příklad " skutečné " matematický
věty , věty , které každý matematik se přiznat , že
prvotřídní . A tady jsem velmi postižený omezení
za kterých píši . Na jedné straně musí být moje příklady
velmi jednoduché a srozumitelné pro čtenáře, který nemá žádný specializovaný
matematické znalosti , žádné komplikované předběžné vysvětlení
musí být potřeby ačtenář musí být schopen sledovat důkazy jako
stejně jako výpovědí . Tyto podmínky zahrnují , například ,
mnoho z nejkrásnějších vět z teorie čísel ,
jako je Fermat " dva náměstí " věty o právu kvadratický
18
vzájemnost . A na druhé straně by měla být věnována mé příklady
z " nefalšovaný " matematiky , matematika fungování
profesionální matematik , a tato podmínka vylučuje dobrý
řešení , které by bylo poměrně snadné, aby srozumitelný
ale Přestupky na logiku a matematické filozofie .
Mohu jen stěží dělat lépe , než se vrátit k Řekům . Uvedu
a dokázat, dvě z nejznámějších vět řeckých matematiky .
Jsou to " jednoduché " věty , jednoduchá a to jak v myšlence a v provedení ,
ale není pochyb o tom vůbec o jejich bytí vět
nejvyšší třída . Každý je tak svěží a výrazné , jako když má
objevené dva tisíce let nenapsal ani vrásku na
jeden z nich . Nakonec , mohou oba výkazy a doklady se
zvládl za hodinu by každý inteligentní čtenář , ale štíhlé jeho
matematické vybavení .
1. . První z nich je Euclid's3 důkaz o existenci nekonečna
prvočísla .
Prvočísla nebo prvočísla jsou čísla
(A ) 2 , 3 , 5 , 7,11,13,17,19 , 23, 29 , ...
, které nemohou být vyřešeny na menší factors4 . Tak 37 a 317
je prvočíslo. V prvočísla jsoumateriály , z nichž všechna čísla
jsou vytvořeny pomocí násobení : tedy 666 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 37 . Každé číslo
který není sám o sobě je prvočíslo dělitelný alespoň jeden prime
( obvykle , samozřejmě , o několik ) . Musíme dokázat, že existují
nekonečně mnoho prvočísel , tj. žeřada ( A) nikdy nepřijde do
konec .
Dejme tomu, že to dělá , a že
2 , 3 , 5 , ... , P
je kompletní série ( tak , že P jenejvětší prvočíslo ) , a nechte nás ,
Na této hypotézy , zvažte číslo Q definovaný vzorcem
Q = ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ P ) +1 .
3. Prvky IX 20 . Skutečný původ mnoha vět ve Elements je nejasná , a tam
Zdá se, že žádný zvláštní důvod se domnívat, že tento člověk není Euclid vlastní .
4. Existují technické důvody pro to nepočítáme jeden jako hlavní .
19
Je zřejmé, že Q není dělitelné a 2, 3 , 5 , ... , P , pro něj
opustí zbytek 1 po dělení podle jednoho z nich
čísla . Ale , pokud sám není prvočíslo , je dělitelné nějakým připravit,
a proto jeprvočíslo ( což může být samo o sobě Q ) větší
než kterýkoliv z nich . To je v rozporu naši hypotézu , že neexistuje žádná
Hlavním větší než P , a proto tato hypotéza je false .
Důkazem je podle důkaz sporem , a důkaz sporem ,
který Euclid miloval tolik , je jedním zmatematik je
nejlepší weapons5 . Jemnohem jemnější než jakákoli gambit šachové gambit :
šachista může nabídnout oběť pěšce , nebo dokonce kus , ale
matematik nabízí hru .
13
2 . Můj druhý příklad je Pythagoras's6 důkazem " iracionality "
ze dne 2. . " Racionální číslo " je zlomek
b
, kde a a b jsou
celá čísla : můžeme předpokládat, že A a B nemají žádný společný faktor ,
protože kdyby měli bychom to mohli odstranit . Chcete říct, že " 2 je iracionální "
je jen další způsob, jak říct , že 2 nelze vyjádřit
ve formě
2
⎟ ⎠

⎜ ⎝

b
, a to jestejné, jako říkat , žerovnice
( B ) = a2 2B2
nemůže být uspokojena integrální hodnoty A a B , které nemají žádný
společný faktor . To jevěta z čistého aritmetiky , která dělá
nevyžadují žádné znalosti " iracionálních čísel " nebo závislé na
jakákoliv teorie o jejich povaze .
Opět jsme argumentují tím, důkaz sporem , předpokládáme, že ( B )
Je pravda , a a b jsou celá čísla bez jakéhokoli společný dělitel . to
vyplývá z ( B ), která je i a2 ( od 2B2 je dělitelný 2 ) , a
5. Důkaz může být uspořádána tak, aby se zabránilo Reductio a logikové některých škol by
přednost , že by to mělo být .
6. Důkaz tradičně připsal Pythagoras , a jistěproduktem jeho školy .
věta se vyskytuje v mnohem obecnější formě , v Euclid ( Elements X 9 ) .
20
proto , žeje ještě ( odnáměstí z lichého čísla je
lichý) . Pokudje i potom
( C )= 2c
pro některé integrální hodnotu C , a proto
2B2 = a2 = ( 2c ) 2 = 4C2
nebo
( D ) b2 = 2c2
Z tohoto důvodu je i b2 , a proto ( ze stejného důvodu jako předtím )
b je dokonce . To znamená, že , a a b jsou jak i , a proto mají
společný faktor 2 . To je v rozporu naši hypotézu , a proto
hypotéza je false .
Z Pythagorovy věty , že úhlopříčky
náměstí je nesouměřitelné s boku ( , že jejich poměr není
racionální číslo , že neexistuje zařízení , které oba jsou součástí
násobky ) . Neboť jestliže jsme se na stranu jako náš jednotku délky , a
Délkaúhlopříčky je d , pak tím, že velmi známé věty také
připsal Pythagoras7 ,
d 2 = 12 +12 = 2
Takže d nemůže býtracionální číslo .
Mohl bych citovat libovolné množství jemných vět z teorie
čísla , jejichž což znamená, někdo může pochopit . Například ,
tam je to, co se nazývá "základní věta aritmetiky " ,
že celé číslo lze vyřešit , pouze jedním způsobem , do výrobku
prvočísel . Tak 666 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 37 , a neexistuje žádný jiný rozklad ;
to je nemožné , že 666 = 2 ⋅ 11 ⋅ 29 , nebo že 13 ⋅ 89 = 17 ⋅ 73 ( a
můžeme vidět , takže bez práce se na výrobky ) . Tato věta je ,
jak jeho název napovídá , základem vyšší aritmetiky , ale
důkaz , i když ne " těžké " , vyžaduje určité množství
předmluva a může být nalezeno nudné prostřednictvím unmathematical čtenáře .
Další slavná a krásná věta Fermat je " dva
náměstí " teorém . V prvočísla mohou ( pomineme-li zvláštní prvočíslo
2 ) být rozděleny do dvou skupin: na prvočísla
5,13,17 , 29 , 37, 41 , ...
7 Euclid , Elementy I 47 .
21
který opustí zbytek 1 po dělení podle 4 , a připraví
3 , 7,11,19 , 23, 31 , ...
který opustí zbývající tři . Všechny připraví z první třídy , a
žádný z druhého , může být vyjádřena jako součet dvou integrálu
čtverce : tak
17 1 4 29 2 5 ;
5 1 2 13 2 3 ,
2 2 2 2
2 2 2 2
= + = +
= + = +
ale 3 , 7 , 11 , a 19 nejsou vyjádřitelné tímto způsobem ( jako čtenář
může zkontrolovat podle soudu ) . To je Fermatova věta , která se umístila ,
velmi správně , jako jeden znejlepších aritmetiky . Bohužel , tam
Není žádný důkaz v chápání kohokoliv , alepoměrně
expert matematik .
Tam jsou také krásné věty v " teorii kameniva "
( Mengenlehre ) , jako je například Cantorovým věta o " nonenumerability "
kontinua . Zde je pravý opak
obtížnost . Důkazem je snadné , když jednoujazyk má
zvládl , ale značná vysvětlení je nutné před
Význam věty je jasné . Tak jsem se nesnažil
dát více příkladů . Ty, které jsem dal jsou testovací případy , a
čtenář, který nemůže ocenit , je nepravděpodobné, že by ocenit
něco v matematice .
Řekl jsem, žematematik bylvýrobce vzory myšlenek ,
a že krása a vážnost byla kritéria, podle kterých jeho
vzory by měla být posuzována . Nemůžu uvěřit , že každý, kdo
se rozumí dvě věty se přít , že se kolem nich
testy. Porovnáme-li je s Dudeney nejvíce geniální
hádanky , nebo nejjemnější šachové problémy mistři tohoto umění mají
skládá , jejich převaha v obou ohledech vyniká : je
Nezaměnitelný rozdíl třídy . Jsou mnohem závažnější ,
a také mnohem krásnější : můžete definovat ,trochu blíže ,
kde jejich nadřazenost spočívá ?
22
14
V první řadě ,převaha matematických vět v
závažnost je zřejmá a ohromující . Problém šachy
produkt geniální , ale ve velmi omezeném komplex myšlenek ,
které nejsou od sebe liší velmi zásadně a
nemají žádné vnější dopady . Měli bychom myslet stejným způsobem
pokud šachy nikdy nebyla vynalezena , zatímco věty Euclid
a Pythagoras ovlivnil myslel hluboce , a to i mimo
matematika .
Tak Eukleidův věta má zásadní význam pro celé struktuře
aritmetika . V prvočísla jsousuroviny , z nichž máme
budovat aritmetiku , a Euclidův věta nás ujišťuje, že máme
spousta materiálu pro daný úkol . Alevěta Pythagoras má
širší aplikace a poskytuje lepší textu .
Měli bychom sledovat první , že argument Pythagoras je schopen
z dalekosáhlé rozšíření , a mohou být použity , s malou změnou
princip velmi široké třídy " irrationals " . Můžeme být velmi
podobně ( jako Theaetetus Zdá se, že to udělal ) , že
3 , 5 , 11 , 13 , 17
jsou iracionální , nebo ( nad rámec Theaetetus ) , že 3 2 a 3 17 arů
irrational8 .
Eukleidův věta nám říká, že máme dostatečnou zásobu materiálu
pro konstrukci soudržné aritmetiky přirozených čísel .
Pythagorova věta a její rozšíření nám to říká , když jsme
postavili tuto aritmetiku , bude to jako nedostatečná pro
naše potřeby , protože tam bude mnoho veličin , které vnucovat
sami na naší pozornosti a který bude schopen
měřit :úhlopříčka čtverce je pouzenejzřejmější
Příklad . Hluboký význam tohoto objevu bylo
okamžitě poznal řeckými matematiky . Začali
8 Viz Ch . IV Hardy a Wright Úvod do teorie čísel , kde jsou
diskuze o různých zobecnění tvrzení Pythagoras , ahistorické
zmatený o Theaetetus .
23
za předpokladu ( v souladu , myslím , s " přírodními " diktátu
ze " zdravého rozumu " ) , že všechny veličiny téhož druhu jsou
souměřitelné , že jakékoliv dvě délky , například , jsou násobky
nějaké společné jednotky , a oni se postavili teorii
poměr na základě tohoto předpokladu . Pythagoras objev
odhalil unsoundness této nadace , a vedl k
Výstavba mnohem hlubší teorie Eudoxus
který je uveden v páté knize prvků , a který je
pokládaný mnoho moderních matematiků jako nejlepší úspěch
řecké matematiky . Teorie je překvapivě moderní
v duchu , a může být považován za začátek moderní
teorie iracionální čísla , která revoluci matematické
Analýza a měl velký vliv na nedávné filozofii .
Není pochyb o tom vůbec , pak na " závažnosti " buď
věta. Je protolepší, stojí za to poznamenat , že ani
věta má nejmenší " praktický " význam . v praktické
Aplikace se zabýváme pouze s poměrně malým
čísla , jen hvězdné astronomie a atomová fyzika se zabývá
"velká " čísla , a mají velmi málo praktičtější
význam , ale jak , než většina abstraktní čisté matematiky . já
Nevím, co jenejvyšší stupeň přesnosti někdy užitečné
inženýr - budeme velmi štědrý , pokud řekneme deset významné
postavy . pak
3.14159265
(hodnota π na osm míst desetinných míst ) jepoměr
1000000000
314159265
ze dvou čísel z deseti číslic . Počet připraví méně než
1000000000 je 50847478 : to je dost pro inženýra , a to
může být dokonale šťastný, bez odpočinku. Tolik k Euclid je
věta , a , pokud jde o Pythagoras je, je zřejmé, že irrationals
jsou nezajímavé pro inženýra , protože se týká pouze
s aproximace , a všechny aproximace jsou racionální .
24
15
" Závažné" věta jevěta , která obsahuje " významný "
nápady , a já předpokládám, že bych měl zkusit analyzovattrochu více
úzce vlastnosti , které tvořímatematický nápad významný .
To je velmi obtížné , a to je nepravděpodobné, že by analýza , která I
může dát bude velmi cenná . Můžeme rozpoznat"významný"
nápad, když ho vidíme , jak můžeme ty, které se vyskytují v mé dva
Standardní věty , ale to moc uznání vyžadujevysoce
stupeň matematické propracovanosti , a této známosti se
matematické myšlenky, které pochází pouze z mnoha letech strávených v
jejich společnost . Takže musím pokusit nějakou analýzu , a to
by mělo být možné, aby se ten, který je však nedostatečná , je
zvuk a srozumitelný tak daleko , jak to jde . Tam jsou dvě věci, na
Každopádně , které se zdají důležité ,určitá obecnost aurčitá
hloubka , ale ani kvalita je snadné definovat vůbec přesně .
Významný matematický nápad ,vážný matematické
věta, by měl být "obecné" v nějakém tom smyslu, jako je tento. myšlenka
by měla být ta, která jesložkou v mnoha matematických
konstrukty , které se používají v důkazu věty z mnoha
různé druhy . Věta by měl být ten, který , i když uvedl,
Původně ( jako Pythagoras teorém ) ve zcela zvláštním formuláři , je
schopné značné rozšíření a je typické pro celou třídu
vět svého druhu . Vztahy , které se projevily v důkazu
by měla být taková , aby se připojit mnoho různých matematických myšlenek .
To vše je velmi vágní , a závisí na mnoha rezervace . Ale to je
snadné vidět, ževěta je nepravděpodobné, že by vážně, když to
postrádá tyto vlastnosti viditelně , musíme vzít pouze
příklady z izolovaných kuriozit ve které aritmetický
oplývá . Beru dvě , téměř náhodně , od Rouse míč je
Matematické Recreations9 .
( a) 8712 a 9801 ar pouze čísla čtyři postava , které jsou
integrální násobky jejich " obrácení " :
9. 11. vydání , 1939 ( revidované HSM Coxeter ) .
25
8712 = 4 ⋅ 2178 , 9801 = 9 ⋅ 1089
a nejsou tam žádné další čísla pod 10000 , které mají tento
vlastnictví .
( b ) Existují jen čtyři čísla ( po 1 ), které jsou částky
kostky z jejich číslic , viz.
371 3 7 1 407 4 0 7 .
153 1 5 3 370 3 7 0 ,
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
= + + + + =
= + + + + =
Jedná se o podivné skutečnosti , velmi vhodné pro puzzle sloupců a
pravděpodobně bavit amatéry , ale není to nic v nich , které
líbí hodně matematik . Důkazy nejsou ani těžké
ani zajímavé , jen trochu únavné. V věty nejsou
vážně , a je zřejmé, že jedním z důvodů ( i když možná ne
nejdůležitější) jeextrémní specialitou obou výpovědí
a důkazy , které nejsou schopny jakékoliv významné zobecnění .
16
" Všeobecnost " jenejednoznačný a spíše nebezpečné slovo , a my
musí dávat pozor, aby je mohl ovládnout naši diskusi příliš
hodně . To se používá v různých smyslech a to jak v matematice a ve
spisy o matematice , a je jedním z nich a to zejména ,
na které logici velmi správně položil velký důraz , který
je zde zcela irelevantní . V tomto smyslu , což je docela snadné
definovat všechny matematické věty jsou stejně a zcela
obecně.
"Jistota matematiky ," říká Whitehead10 , " závisí na tom,
jeho kompletní abstraktní obecnost . " Když jsme tvrdit, že 2 + 3 = 5 , jsme
se tvrdí, vztah mezi třemi skupinami " věcí" , a
tyto " věci " nejsou jablka nebo haléře , nebo věci z některého
zejména třídění nebo jiný , ale jen věci , " nějaké staré věci " .
Význam tvrzení je zcela nezávislý na individualit
z členů skupiny . Všechny matematické " objekty "
10 Věda amoderní svět , s. . 33 .
26
nebo " subjekty " nebo " vztahy" , jako '2 ', '3' , '4 ' , ' + ' nebo ' = ' , a všechny
matematické propozice , ve kterých se vyskytují , jsou zcela
obecně v tom smyslu , že jsou zcela abstraktní . Opravdu jeden z
Whitehead slova jsou zbytečná , protože obecnosti , v tomto smyslu ,
je abstraktnost .
Tato slova smyslu je důležité , a logikové jsou poměrně
právo zdůraznit to , protože ztělesňuje pravdou , kterávelmi mnoho
lidé, kteří by měli vědět lépe jsou apt zapomenout . Je zcela
společné , například pro astronoma nebo fyzik požadovat
že našel " matematický důkaz ", žefyzická
vesmír se musí chovat určitým způsobem . Všechny takové tvrzení , je-li
interpretována doslovně , jsou přísně nesmysl . To nemůže být možné
dokázat matematicky , že budezatmění zítra ,
protože zatmění , a další fyzikální jevy , které nejsou součástí
abstraktního světa matematiky , a to , myslím , všichni
Astronomové se přiznat, že při stisknutí však mnoho zatmění
mohou předpovídali správně .
Je zřejmé, že nejsme zabývá tímto druhem " obecnosti "
nyní . Hledáme rozdíly obecnosti mezi
jeden matematický teorém , a další , a Whitehead v tom smyslu,
všechny jsou stejně obecně. Tak " triviální " věty ( a) a ( b ) z
§ 15 jsou jen jako " abstraktní " nebo " generál " jako ty Euclid a
Pythagoras , a tak jeproblém šachy . Nezáleží na tom , aby
šachový problém, zda tyto kusy jsou bílé a černé , nebo červené a
zelená , nebo zda existují fyzické " kousky " vůbec , je to stejné
problém, který jeexpert nese lehce v jeho hlavě , a které
muset pracně rekonstruovat pomocí desky .
desky a kusy jsou pouze zařízení, která stimulují naše stagnující
představivost , a nejsou větší důraz na problém , než
tabule akřída jsou do věty vmatematické
přednáška .
To není tento druh obecnosti , společné pro všechny matematické
věty , které hledají nyní , alejemnější a
nepolapitelný druh obecnosti , které jsem se snažil popsat v drsných podmínkách
27
v § 15 . A musíme být opatrní, aby ležel příliš mnoho stresu i na
obecnost tohoto druhu ( jako myslím, že logikové jako Whitehead mají tendenci
dělat ) . To není pouhá " hromadí jemnosti zobecnění na
jemnost generalization'11 , což jevynikající úspěch
z moderní matematiky . Některé míra obecnosti , musí být
prezentovat v každém prvotřídní věty , ale příliš inklinuje nevyhnutelně
na nanicovatost . " Všechno, co je , co to je , a ne další věc " , a
rozdíly mezi věcmi jsou docela zajímavé , jak jejich
podobnosti . Nechceme si vybrat své přátele , protože
ztělesňují všechny příjemné vlastnosti lidstva , ale proto, že
jsou lidé, kteří jsou . A tak v matematice , nemovitosti
společné příliš mnoho objektů lze jen stěží být velmi vzrušující , a
matematické myšlenky také nejasné , pokud nemají dostatek
individualita . Zde v každém případě mohu citovat Whitehead na mé straně :
" to jevelké zobecnění , omezen šťastný zvláštnosti ,
která jeplodná conception12 . "
17
Druhá jakost , kterou jsem požadoval ve výrazném nápadu byl
hloubka , a je to stále obtížnější definovat . To má něco do
provést jen s obtížemi ," hlubší " myšlenky jsou obvykletěžší
pochopit , ale to není vůbec totéž . Myšlenky z nichž Pythagoras
věta a její zobecnění jsou poměrně hluboké , ale ne
matematici teď by si je obtížné . Na druhé straně
teorém může být v podstatě povrchní a přesto velmi obtížné
dokázat ( stejně jako mnoho " diophantine " věty, tj. věty o
řešení rovnic v celých čísel ) .
Zdá se, že matematické myšlenky jsou uspořádány tak nějak v
vrstvy , myšlenky v každé vrstvě jsou propojeny komplexem
vztahy jak mezi sebou, tak s těmi nahoře a
níže . Spodnívrstva ,hlubší ( a obecně více
11 Věda amoderní svět , s. . 44 .
12 Věda amoderní svět , s. . 46 .
28
obtížné )nápad . Takžemyšlenka" iracionální " je hlubší než
jako celé číslo , a Pythagorova věta je z tohoto důvodu ,
hlouběji než Euclid je .
Pojďme se zaměřit naši pozornost na vztahy mezi
celá čísla , nebo nějaké jiné skupiny předmětů ležících v některé konkrétní
vrstva . Pak se může stát, že jeden z těchto vztahů mohou být
pochopil úplně, že můžeme rozpoznat a ukázat , pro
Například některé majetkem celých čísel , bez znalosti
obsahu nižších vrstev . Tím jsme dokázali, Euclid věta
podle posouzení vlastností pouze celá čísla . Ale jsou tu i
mnoho věty o celých čísel , které nemůžeme ocenit
správně , a ještě méně prokazuje , bez kopat hlouběji a
s ohledem na to, co se děje pod .
Je snadné najít příklady v teorii prvočísel .
Eukleidův věta je velmi důležitá , ale ne moc hluboko : můžeme
prokázat, že existuje nekonečně mnoho prvočísel bez použití jakékoliv
Představa, hlubší než " dělitelnosti " . Ale nové otázky
navrhnout sami , jakmile budeme znát odpověď na tuto jednu .
Existujenekonečno prvočísel , ale jak je distribuovánnekonečno ?
Vzhledem kvelkému počtu N , řekněme 1080 nebo 101010 , 13 o tom, kolik
prvočísla jsou tam menší než N ? 14 Když se ptáme na tyto otázky , jsme
ocitneme v jiné poloze . Můžeme je odpověď , s
spíše překvapující přesnosti , ale jen nudné mnohem hlubší ,
takže celá čísla nad námi na chvíli , a za použitínejvíce
mocné zbraně z moderní teorie funkcí . Tak
Věta , která odpoví na naše otázky (tzv. Prime
Počet Věta " ), jemnohem hlubší , než věta Euclid či
i Pythagoras je .
Mohl bych násobit příklady , ale tento pojem " hloubka " je
nepolapitelný jeden i pro matematik , který dokáže rozpoznat , a já
13. Předpokládá se, žepočet protonů ve vesmíru je asi 1080 . Číslo 101010 ,
pokud psaný na délce , by se měla pohybovat kolem 50.000 svazků z průměrné velikosti .
14. Jak jsem již zmínil v § 14 , jsou 50.847.478 prvočísla menší než miliarda , ale to je jako
pokud jde o naše Přesná znalost rozšiřuje .
29
lze jen stěží předpokládat, že bych mohl říct něco víc o tom zde
že by bylo hodně pomoci k ostatním čtenářům .
18
Tam je ještě jeden bod zůstává na z § 11 , kde jsem začal
srovnání mezi " skutečnou matematiku " a šachy . Můžeme
brát jako samozřejmost, teď, v podstatě , vážnost , význam ,
Výhodou skutečné matematické věty je
ohromující . To je téměř stejně jasné , na vyškoleným inteligence ,
, že má velkou výhodu v kráse také , ale v tomto
Výhodou je mnohem těžší určit nebo nalézt , protožehlavní
vada problému šachů je prostě jeho " maličkost " , a
kontrast v tomto ohledu se mísí s a ruší jakýkoli další čistě
estetický soud . Co je čistě estetické " vlastnosti můžeme
rozlišovat v takových větách jako Euclid či Pythagoras je ? I bude
Neriskujte více než několik nesouvislých poznámek .
V obou vět ( a vět , samozřejmě , jsem zahrnovat
důkazy ), jevelmi vysoká míra neočekávaností , kombinovaná
s nevyhnutelností a ekonomiky . Argumenty se tak zvláštní a
překvapila forma , zbraně používané zdát tak dětinsky jednoduché
ve srovnání s dalekosáhlými výsledky , ale není tam žádný
uniknout z závěrů . K dispozici nejsou žádné komplikace
detail- jeden řádek útoku je dost v každém případě , a to platí
také z dokladů o mnoho mnohem složitější věty ,plné
ocenění , která vyžaduje poměrně vysoký stupeň technické
způsobilosti . Nechceme mnoho " změny " v dokladu o
matematická věta : " výčet případů " , ve skutečnosti je jedním z
jednotvárnějším formy matematického argumentu . Matematický důkaz
by měl vypadat jednoduchý a jasný -cut souhvězdí , ne
rozptýlené clusteru v Mléčné dráze .
Šachový problém má také Neočekávanost , a určité hospodářství;
Je nezbytné, aby se pohybuje by nemělo být překvapivé , a že
každý kus desky by měla hrát svou roli . Aleestetické
30
účinek je kumulativní . Je velmi důležité, také ( pokud neníproblém je příliš
jednoduché být opravdu zábavné ) , žeklíčový krok by měl být
následuje dobrých mnoha variantách , z nichž každá vyžaduje vlastní
individuální odpověď . " Je-li P - B5 pak Kt - R6 , pokud .... pak .... , pokud .... pak
.... " -Efekt by být poškozeny , pokud nebylodobré, mnoho
různé odpovědi . To vše je zcela originální matematika , a má své
si zaslouží , ale to je jen, že " důkaz o výčet případů " ( a
případech, které nejsou v dole , se liší u všech profoundly15 ), které
skutečný matematik tendenci pohrdat .
Já se přikláním k názoru , že bych mohl posílit svůj argument
apeluje na pocity samotných šachových přehrávačů . jistě
šachový mistr ,hráč skvělých her a velké zápasy , na
Spodní pohrdá dané Problemist je čistě matematický umění . má
hodně z toho v rezervě sám , a mohou produkovat to v případě nouze :
" jestliže on dělal takový a takovýkrok , a pak jsem měl takové a
jakovýherní kombinace na mysli . "Ale" velká hra " o
šachy je především psychologický ,konflikt mezi jedním vyškoleni
inteligence a další , a ne pouhý soubor malých
matematické věty .
19
Musím se vrátit do svého Oxford omluvu , a prozkoumattrochu víc
pečlivě některé z bodů, které jsem odložena v § 6 . Bude
zřejmé , že jim Mám zájem o matematiku jen jako
výtvarného umění . Existují však i jiné otázky, které je třeba zvážit , a ve
zejména o " užitečnosti " ( nebo zbytečnosti ) z matematiky ,
o kterém je hodně zmatek myšlení . Musíme také
zvážit, zda matematika je opravdu tak "neškodný" , jak jsem
považovali za samozřejmost v mém Oxford přednášce .
Věda neboumění může být řekl, aby byl " užitečný " , pokud jeho vývoj
zvyšuje , a to i nepřímo ,materiál blahobyt a
15. Domnívám se, že to je nyní považováno za zásluhy v problému, který by měl být mnoho
varianty stejného typu .
31
komfort mužů , pokud to podporuje štěstí , použití tohoto slova ve
surovésamozřejmostí způsobem . Tak lékařství a fyziologie jsou
užitečné, protože zmírnit utrpení , a inženýrství je užitečný
protože nám pomáhá stavět domy a mosty , a tak zvýšit
standard života ( strojírenství , samozřejmě , dělá ublížit stejně , ale
to neníotázka na chvíli ) . Nyní někteří matematika je
jistě užitečné tímto způsobem , inženýři nemohli dělat svou práci
bez spravedlivé pracovní znalosti matematiky a matematiky
je začíná najít uplatnění i ve fyziologii . takže zde
máme možná důvod pro obranu matematiky , ale může být
nenínejlepší , nebo dokonceobzvláště silnou obranu , ale to je jedno
které musíme prozkoumat . V " ušlechtilejší " použití matematiky , pokud
taková , že by se jejich použití, které je sdílí se všemi výtvarného umění , bude
irelevantní k našemu zkoumání . Matematika může být , stejně jako poezie nebo
hudba , " podporovat a udržovat vznešené zvyk mysli " ​​, a tak
zvýšení štěstí matematiků a dokonce i jiné
lidé , ale bránit se z tohoto důvodu by bylo jen proto, aby
zpracovat to, co jsem již řekl . Co musíme vzít v úvahu
Nyní je" surový" užitečnost matematiky .
20
To vše se může zdát velmi zřejmé , ale i zde je často
hodně zmatku , protože většina " užitečné " předměty jsou poměrně
obyčejně jen ty, které je nejvíce zbytečné pro většinu z nás
učit se . Je užitečné mít dostatečný přísun fyziologové a
inženýři , ale fyziologie a strojírenství nejsou užitečné studie
pro obyčejné lidi ( i když jejich studium může samozřejmě být bráněn
z jiných důvodů ) . Já osobně jsem nikdy jednou našel
Sám v pozici, kdy takové vědeckých poznatků , jak jsem vlastnit ,
mimo čisté matematice , který mi přinesl sebemenší výhodu .
Je to opravdu spíše s podivem , jak málo praktická hodnota vědeckých
poznání má pro obyčejné lidi , jak nudné a všední
32
například o tom , jak se hodnota, a jak se jeho hodnota se zdá téměř lišit
nepřímo na jeho údajný nástroj . Je užitečné mít dosti rychle na
společný aritmetický (a to , samozřejmě , je čistá matematika ) . to
Je užitečné vědět, trochu francouzština nebo němčina,trochu historie a
zeměpis , možná itrochu ekonomie . Alejen málo chemie ,
fyzika , fyziologie nebo nemá hodnotu vůbec v běžném životě . my
vím, žeplyn bude hořet , aniž by věděl jeho ústavu ;
když se naše auta rozebrat vezmeme je do garáže , když naše
žaludek je mimo provoz , jdeme k lékaři nebo drogerii . žijeme
buď pravidlem nebo na jiné lidi je profesionální
znalosti .
Nicméně, toto jestrana záležitost ,záležitost pedagogiky , zajímavé
pouze pro pedagogy , kteří mají radit rodiče dožadují
" užitečná " vzdělání pro své syny . Samozřejmě to neznamená ,
když říkáme, že fyziologie je užitečné , že většina lidí by se
studovat fyziologii , ale ževývoj fyziologie podle
hrstka odborníků zvýší komfort většiny .
otázky, které jsou důležité pro nás teď je , jak daleko matematika
může požadovat tento druh nástroje , jaké druhy matematiky může
aby nejsilnější tvrzení , a jak dalekointenzivní studium
matematika , protože je zřejmé, matematiky , mohou být
oprávněná z tohoto jediného důvodu .
21
To bude asi jasný už na jaké závěry jsem
blíží , takže uvedu je najednou dogmaticky a pak
vypracovat jimtrochu . Je nepopiratelné, žeznačná část
elementární matematika a já používám slovo " základní " ve
smysl , v němž profesionální matematici používat , ve kterém je
Patří sem napříkladspravedlivé pracovní znalost diferenciálního
a integrální počet , má značný praktický nástroj .
Tyto části matematiky jsou , v celku , spíše nudné , jsou
jen části, které mají nejmenší estetickou hodnotu . " Skutečné "
33
matematika na " skutečných " matematiky , matematiky
Fermat a Euler a Gauss a Ábel a Riemann , je téměř
zcela " k ničemu " ( a to je pravda " aplikuje " k " čisté "
matematika ) . Není možné zdůvodnit život ke skutečnému
profesionální matematik na půdě " užitečnosti " z jeho
práce .
Ale tady musím vypořádat s mylné . To je někdy
navrhl, že čisté matematici sláva na zbytečnosti
jejich work16 , a učinit z nějchlubí , že nemá žádné praktické využití .
Imputace je obvykle založena na neopatrnou přísloví
připsat Gauss , v tom smyslu, že pokud matematika jekrálovna
z věd , pakteorie čísel je , protože jeho
nejvyšší zbytečnost ,královna matematiky , jsem nikdy
nebyl schopen najít přesnou cenovou nabídku . Jsem si jist, že Gauss je
říká ( pokud opravdu to být jeho ) byl spíše hrubě nesprávně vyložil .
Pokud je teorie čísel mohou být použity pro jakýkoli praktický a
samozřejmě čestný účel, pokud by se ukázalo přímo na
prosazování lidských štěstí nebo zmírnění lidského utrpení ,
jako fyziologie , a dokonce i chemie může , pak jistě ani Gauss
ani žádný jiný matematik by byl tak hloupý, aby
hanobit nebo litovat těchto aplikací . Ale věda pracuje pro zlo jako
jakož i pro dobré ( a zejména , samozřejmě , v době války ) , a
jak Gauss a méně matematici mohou být odůvodněno radovat
že je tam jeden věda v každém případě , a že jejich vlastní , jehož
velmi odlehlosti od běžných lidských činností by ji udržet
jemná a čistá .
16 I byli obviněni z přijímání tohoto pohledu sám . Jednou jsem řekl, že "věda je řekl, aby byl
užitečné, pokud jeho vývoj má tendenci zdůraznit existující nerovnosti v distribuci
bohatství , nebo více přímo podporuje zničení lidského života " , a tato věta , písemné
v roce 1915 , byl citován ( pro nebo proti mně ) několikrát . Bylo to samozřejměvědomé
rétorický rozkvět , když jeden možná omluvitelné, v době , kdy byl napsán .
34
22
Tam je další mylná představa, proti které musíme chránit . to
Je zcela přirozené předpokládat, že existujevelký rozdíl v nástroji
mezi " čistý " a " aplikované " matematika . To jeklam :
tam jeostrý disctinction mezi dvěma druhy matematiky ,
které jsem se vysvětlit, v tuto chvíli, ale to těžko ovlivňuje jejich
utility .
Jak čisté a aplikované matematiky se liší od jednoho
jiný ? To jeotázka, na kterou lze odpovědět jednoznačně a
o kterých panuje všeobecná shoda mezi matematiky .
Tam nebude nic ani v nejmenším neortodoxní o mé odpovědi ,
ale potřebuje trochu předmluvu .
Moje další dvě sekce budou mít mírně filozofické chuť .

Filozofie neřeže hluboko , nebo se jakýmkoli způsobem zásadní , aby můj
hlavní teze , ale budu používat slova, která jsou velmi často používané
s definitivní filozofické důsledky , ačtenář by mohl dobře
splést , pokud jsem se vysvětlit, jak jsem se je použít .
Jsem se často používá přídavné jméno " skutečné " , a jak ji používat běžně
v rozhovoru . Mluvil jsem o " skutečné matematiky " a
" skuteční matematici " , jak jsem mohla mluvil o "skutečné poezie " nebo
" Skuteční básníci " , a budu tak činit i nadále . Ale já jsem se také použít
slovo " realita " , a se dvěma různými konotacemi .
V první řadě , budu mluvit o " fyzické reality " , a zde
Znovu jsem se používat slovo v běžném slova smyslu . fyzikálními
reality Myslím hmotný svět ,svět dne a noci ,
zemětřesení a zatměnísvět , který Fyzikální pokusy
popsat .
Sotva jsem Předpokládám , že až do tohoto bodu , každý čtenář je pravděpodobné, že
najít problémy s mým jazykem , ale teď jsem u více
obtížné zem . Pro mě , a myslím, že pro většinu matematiků ,
existuje jiná realita , které budu říkat " matematická realita " ;
a není tam žádný druh dohody o povaze matematické
Realita mezi buď matematiky nebo filozofů . někteří
35
si myslí, že to je " duševní " a že v jistém smyslu jsme ji postavit ,
jiní, že to je mimo a nezávisle na nás . Muž, který by mohl
dát přesvědčivou účet matematické skutečnosti by mít
vyřešit velmi mnoho z nejtěžších problémů metafyziky .
Kdyby mohl zahrnovat fyzickou realitu ve svém účtu , měl by mít
vyřešit všechny .
Měl bych nechtěl tvrdit, některou z těchto otázek zde , i když jsem
byli kompetentní k tomu , ale uvedu svou vlastní pozici
dogmaticky , aby se zabránilo drobné nedorozumění . Věřím, že
že matematická realita leží mimo nás , že naše funkce je
objevit nebo pozorovat to , a že věty , které se ukáží , a
které popisují grandiloquently jako naše " výtvory " , jsou prostě
naše poznámky našich pozorování . Tento pohled byl držen v jednom
či oné podobě , mnoho filozofů s vysokou reputaci od
Plato roku , a budu používat jazyk, který je přirozený pro
Muž, který ji drží . Čtenář, který nemáfilosofie může změnit
Jazyk : to bude mít velmi malý rozdíl na mých závěrů .
23
Kontrast mezi čisté a aplikované matematice vyniká
nejjasněji , možná , v geometrii . Tam jevěda o čisté
geometry17 , ve kterém existuje mnoho geometrie , projektivní
geometrie , Euclidean geometrie , non- Euclidean geometrie , a proto
dále . Každý z těchto geometrií je model ,vzor nápadů , a
je třeba posuzovat podle zájmu a krásu svého konkrétního vzoru .
Je tomapa , nebo obraz ,společným produktem mnoha rukou ,částečné
a nedokonalé kopie ( zatím přesné , jelikož rozšiřuje ) z části
matematická realita . Alebod, který je dnes pro nás důležité
je to , že tam je jedna věc, v každém případě z ​​toho čisté geometrie
nejsou obrázky, a že jeprostorově - časové realita
17 Musíme samozřejmě , pro účely této diskuse , počítat jako čistá geometrie , co
matematici nazývají " analytický " geometrie .
36
fyzický svět . Je zřejmé , jistě , že není možné, protože
zemětřesení a zatmění nejsou matematické pojmy .
Může to zníttrochu paradoxní outsidera , ale je to
pravdou na geometr , a mohu snad být schopen , aby bylo jasnější
podle ilustrace . Dejme tomu, že jsem přednášku na
některé systém geometrie , jako jsou například běžné euklidovský geometrie ,
a že jsem kreslit postavy na tabuli stimulovat
představivost mé publikum , hrubé nákresy přímek nebo
kruhy nebo elipsy . Je zřejmé , jednak to, žepravda vět
které jsem dokázat, není nijak ovlivněna kvalita mého
kresby . Jejich funkce je pouze přinést domů svůj význam
moji posluchači , a pokud mohu , že by tam být žádný zisk v tom, že
je překreslí podle nejdovednějšího kreslíř . jsou
pedagogické ilustrace , nejsou součástí skutečného předmětu
přednáška .
Teď nechal nás jít do další fáze . Místnost, ve které jsem přednášel
je součástí fyzického světa , a má sám určitý vzor .
Studie tohoto vzoru , a obecného vzor fyzické
realita , jevěda sama o sobě , které bychom mohli nazvat " fyzické
geometrie " . Předpokládejme nyní, ženásilné dynamo , nebomasivní
tíhne tělo , je zavedena do místnosti . Pak fyzici
nám říkají, žegeometrie místnosti se změnila , její celý
fyzické vzor mírně , ale rozhodně zkreslený . Líbí se věty
které jsem dokázal stát falešný ? Jistě , že by bylo nesmyslné
předpokládat, že důkazy o nich, které jsem dal , jsou ovlivněny
v žádném případě. Bylo by to jako za předpokladu, žehra Shakespeara
se změní , kdyžčtenář rozlévá svůj čaj přes stránku . Hra je
nezávisle na stránek, na kterém je vytištěno , a "čistý
geometrie " jsou nezávislé na poslucháren , nebo jakékoliv jiné
detail fyzického světa .
Jedná se o názory čistý matematik . Aplikované
matematici , fyzici matematické , přirozeně se
jiný pohled , protože jsou zaujati s fyzickým světem
sám, který také má své struktury nebo vzor . Nemůžeme popsat
37
tento vzor přesně , jak jen můžeme , že z čisté geometrie , ale můžeme
říci něco důležitého o tom . Můžeme popsat , někdy
docela přesně , někdy velmi hrubě , vztahy , které
držet mezi některými z jejích složek , a porovnat je s
Přesné vztahy mezi držiteli složek nějakého systému
čisté geometrie . Můžeme být schopni vysledovat jistou podobnost
mezi těmito dvěma sadami vztahů , a pakčistý geometrie bude
stávají zajímavé pro fyziky , to nám dá , do té míry ,
Mapa , která " odpovídá faktům " fyzického světa . geometr
nabízí fyzikcelá sada map , ze kterých si můžete vybrat .
Jedna mapa , snad se vejde fakta lépe než ostatní , a pak
geometrie , která stanoví, že zvláštní Mapa bude
geometrie nejdůležitější pro aplikované matematiky . Mohu dodat, že
ičistý matematik může najít své uznání tohoto
geometrie zrychlil , protože tam není žádný matematik tak čistá , že
cítí žádný zájem vůbec ve fyzickém světě , ale v rozsahu, v němž
podlehne tomuto pokušení , bude opouštět jeho čistě
matematické pozice .
24
Tam je další poznámka , která sama navrhuje, zde , a které
fyzikové mohou najít paradoxní , aleparadox bude
pravděpodobně zdáthodně méně , než tomu bylo před osmnácti lety . já
bude vyjadřovat v hodně stejná slova, která jsem použil v roce 1922 v
řešit oddílu A britského sdružení . Moje publikum
tam byla složena téměř výhradně z fyziky , a já může mít
Mluviltrochu provokativně z tohoto důvodu , ale já bych ještě
stát podle podstatě to, co jsem řekl .
Začal jsem tím, že tam je asi menší rozdíl mezi
Pozice matematik a fyzik , než je
obecně předpokládá , a tonejdůležitější se mi zdá
být to , žematematik je v mnohem větší přímém kontaktu
s realitou . To se může zdát jako paradox , protože to jefyzik
38
který se zabývá předmětem obvykle popisována jako " skutečný " , ale
velmi malý odraz je dost ukázat, žefyzika je
reality , co to může být , má málo nebo žádný z atributů
které rozum připisuje instinktivně k realitě . židle
může býtsbírka vířící elektronů , nebomyšlenka v mysli
Boží : každý z těchto účtů může mít své výhody , ale
ani v souladu se úzce k návrhům společné
smysl .
Jsem šel na to říct , že ani fyzici ani filozofové mají
někdy uveden žádný přesvědčivý v úvahu to, co " fyzická realita " je ,
nebo o tom, jakfyzik prochází od zmateného hmotnosti skutečnosti nebo
pocit , s nímž začne k výstavbě objektů
který se nazývá " real " . Proto nemůžeme být řekl, aby vědět, co
předmětem fyziky je , ale to nemusí zabránit tomu, abychom
pochopení zhruba to, cofyzik se snaží udělat . Je zřejmé,
že se snaží korelovat nesouvislé tělo surové skutečnosti,
konfrontovat ho s nějakou určitou a řádné schématu
abstraktní vztahy ,druh programu může půjčit pouze od
matematika .
Matematik , na druhé straně , se pracuje s jeho vlastní
matematická realita . Z této skutečnosti , jak jsem vysvětlil v § 22 , beru
" realistický " a ne" idealistický " pohled . V každém případě ( a to
můj hlavní bod ) to realistický pohled je mnohem více pravděpodobné, ze
matematická než fyzické reality , protože matematické
objekty jsou tak mnohem víc, než to, co se zdá . Židle nebohvězda
není vřadě , jako to, co se zdá být , tím více budeme myslet na to ,
se chmýřovitější jeho obrysy se stávají v mlze pocitů , které
obklopuje ho , ale '2 ' nebo '317 ' nemá nic do činění s pocitem ,
a jeho vlastnosti vyniknoutjasnějiblíže jsme
zkoumat to . Je možné, že moderní fyzika se hodí nejlépe do některé
rámci idealistické filozofie jsem tomu uvěřit , ale tam
jsou významní fyzikové , kteří říkají, že ano. Čistá matematika , na
Na druhé straně , zdá se mi,rocku , na kterých všechny idealismu zakladatelů :
317 jeprvočíslo , ne proto, že si myslíme, že ano, nebo proto, že naše mysli jsou
39
tvaru jedním způsobem , spíše než jiný , ale proto, že je , protože
matematická realita je postaven tímto způsobem .
25
Tyto rozdíly mezi čisté a aplikované matematiky jsou
důležité samy o sobě , ale mají velmi malý vliv na naše
Diskuse o " užitečnosti " matematiky . Mluvil jsem v § 21
že " skutečné " matematika Fermat a dalších velkých matematiků ,
matematika , která má trvalou estetickou hodnotu , jako pro
Příklademnejlepší řecké matematiky je , matematiku , které
je věčná , protožeto nejlepší může být , stejně jako nejlepší literaturu ,
nadále může vyvolat intenzivní emocionální spokojenosti tisíců
lidé po tisíce let . Tito muži byli v první řadě
čisté matematiky ( i kdyžrozdíl byl samozřejmědobrý
řešit méně ostrý ve svých dní , než je nyní ) , ale nebyl jsem myslel
pouze čisté matematiky . Počítám Maxwella a Einsteina ,
Eddington a Dirac , mezi " skutečnými " matematiky . velký
moderní úspěchy aplikované matematiky byly v
relativity a kvantová mechanika , a tyto subjekty jsou v
prezentovat v každém případě , téměř jako " zbytečná " , jak se teorie čísel .
Je to nudné a základní části aplikované matematiky , jako je
Tupá a základní části čisté matematice , že práce pro
dobře nebo špatně . Čas se může změnit všechno . Nikdo předvídal
aplikace matic a skupin a dalších čistě matematický
teorie moderní fyziky , a to může být , že některé
" intelektuál " Aplikovaná matematika bude " užitečné " se jako
neočekávanýzpůsob , ale podle dosavadních zjištění poukazuje na závěr
že v jednom předmětu jako vjiných , to je to, co je samozřejmostí
a nudné , že se počítá pro praktický život .
Vzpomínám si Eddington dávat šťastný příklad
neatraktivita " užitečného " vědy . Britská asociace uspořádala
Setkání v Leedsu , a to bylo si myslel , že členové by mohly
chtěli slyšet něco z aplikací vědy" těžký
40
vlněné " průmysl . Ale přednášky a demonstrace uspořádané
Pro tento účel byly spíšefiasko . Zdá se, že
členové ( ať už občané Leeds , či nikoli ), chtěl být
bavit , a" těžká vlna " není vůbeczábavné
předmět . Takžeúčast na těchto přednáškách byla velkým zklamáním ;
ale ti, kteří přednášeli na vykopávkách u Knossos , nebo na
relativity , nebo na teorii nebo prvočísel , byl potěšen tím,
publikum , které kreslil .
26
Které části z matematiky jsou užitečné ?
Za prvé ,většina matematiky , aritmetiky , základní
algebra , elementární geometrie Euclidean , základní diferenciální
a integrální počet . Musíme se vyloučily určité množství toho, co je
učil na " specialisty " , jako je projektivní geometrie . v aplikovat
matematika , prvky mechaniky (elektřina , jak se vyučují v rámci
školy , musí být klasifikovány jako fyzika ) .
Dále ,spravedlivá část vysokoškolské matematiky je také užitečné ,
že část , která je opravduvývoj školské matematiky
s více hotového techniky , a určité
více fyzické předměty , jako jsou elektřina a hydromechaniky .
Musíme si také uvědomit, žerezerva poznání je vždy
výhodu , a ženejpraktičtější matematiků může být
vážně zdravotně postiženou, pokud jeho znalost jeminimum
která je nezbytná k němu , a z tohoto důvodu musíme přidattrochu
pod každým nadpisem . Ale náš obecný závěr musí být, že
taková matematika je užitečná jako je chtěl nadřízeným inženýr nebo
středně fyzik , a to je zhrubatotéž jako říci ,
taková matematika jako nemá žádný zvláštní estetickou hodnotu. Euclidean
geometrie , například , je užitečné , pokud to je tupá , my ne
chtějí axiomatics Parallels nebo teorii poměru , nebo
konstrukce pravidelného pětiúhelníku .
41
Jeden spíše zvědavý závěr se objeví , že čistá matematika
je jedencelek výrazně užitečnější než použita . čistý
matematik Zdá se, že mají tu výhodu, že napraktické jako
stejně jako na estetické . Za to, co je užitečné především je
technika , a matematická technika se vyučuje především prostřednictvím
čistá matematika .
Doufám, že mi nemusí říkat , že jsem se snaží hanobit matematické
fyzika ,nádherný předmět s obrovskými problémy , kde
ty nejlepší představy se vyřádit . Ale nenípozice
obyčejný aplikovaný matematik v některých ohledechtrochu patetické ? jestliže
chce být užitečná , musí se pracovat ve všední způsobem , a to
nemůže dát plnou hru na své fantazie , i když chce zvýšit na
výšky . " Imaginární " vesmíry jsou tak mnohem krásnější
než to hloupě postaven " skutečný " jeden , a většina znejlepších
výrobky aplikovaného matematika fantazie , musí být zamítnut , neboť
Jakmile byly vytvořeny probrutální , ale dostačující
Důvodem , že se nevejdou fakta .
Obecným závěrem , jistě , vyniká dost jasně . jestliže
užitečné znalosti , jak jsme se dohodli předběžně říci , znalosti
který je pravděpodobně , nyní nebo v poměrně blízké budoucnosti , aby
přispívají k hmotnému pohodlí lidstva , takže pouhá
duševní spokojenost je irelevantní , pakvelká část z vyšší
matematika je k ničemu . Moderní geometrie a algebra ,teorie
čísel ,teorie agregátů a funkcí , teorie relativity ,
kvantová mechanika - ne jeden z tribunytestu mnohem lépe
než jiné , a není tam žádný skutečný matematik , jehož život může být
odůvodněno na tomto kole . Pokud to budenejlepší , pak Abel , Riemann ,
a Poincaré zbytečně své životy , jejich přínos pro člověka
komfort byl zanedbatelný , asvět by byl tak šťastný
místo bez nich .
42
27
Je možné namítnout, že pojem "užitečnost", byl příliš 
úzký, že jsem jej měl definovat pouze v pojmech "štěstí" nebo "pohodlí" 
a ignorovat obecné "sociální" dopady matematiky o kterých moderní 
spisovatelé, s velmi odlišnými sympatiemi, kladli 
tolik stresu. Tak Whitehead (který byl matematikem) 
mluví o "obrovském vlivu matematických znalostí na 
životy lidí, na jejich každodenní zájmy, na organizaci 
společnosti" a Hogben (který je nesdílí sympatie k tomu, co já a 
další matematici nazývají matematikou se kterou Whitehead souhlasí) 
říká, že "bez znalosti matematiky, gramatika velikosti a pořádku, 
nemůžeme plánovat racionální společnost ve které bude radost ze života
pro všechny a chudoba pro nikoho" (a mnohem více ve stejném smyslu).
Nemůžu uvěřit, že tohle všechno výmluvnost bude dělat hodně
utěšit matematiky . Jazyk obou spisovatelů je násilně
přehnané , a to jak z nich ignorovat velmi zřetelné rozdíly .
To je velmi přirozený v Hogben případu , protože je sice není
matematik , se rozumí pod pojmem " matematika "matematiky
které může pochopit , a který jsem nazval " škola "
matematika . Tato matematika má mnoho využití , které jsem
připustil , který můžeme nazvat "sociální" , pokud se nám zlíbí , a které
Hogben prosazuje s mnoha zajímavými odvolání k historii
matematický objev . Je to , který dává svou knihu jeho zásluhy ,
neboť mu umožňuje , aby se prostý , pro mnoho čtenářů, kteří nikdy
byli a nikdy nebude matematici , že tam je více
matematika , než když . Ale on nemá téměř žádný porozumění
ze "skutečných " matematiky ( např. každý, kdo čte to, co říká
o Pythagorovy věty , nebo o Euclid a Einstein , lze říci,
v jednom ) , a ještě méně soucitu s ním ( jak on nešetřil úsilí, aby
ukázat ) . " Skutečné " matematika je pro něj jenobjektem
pohrdavý škoda .
43
To není nedostatek porozumění a soucitu , který je
problémy v případech, Whitehead je , ale zapomíná , je jeho nadšení ,
rozdíly , s nimiž je dobře obeznámen . matematika
která má tuto " obrovský vliv " na " každodenní záliby v
muži " a na " organizaci společnosti "neníWhitehead
ale matematika Hogben . Matematicky , které mohou být použity
" pro běžné účely obyčejných lidí " je zanedbatelný , a že
které mohou být použity ekonomy nebo sociolog těžko stoupne na
" Standardní stipendium " . Whitehead matematika může mít vliv na
astronomie a fyzika hluboce , filozofie jen znatelně -
vysoká myšlení jednoho druhu je vždy mohly mít vliv na vysokou myšlení
jiného , ale to má velmi malý vliv na něco jiného . jeho
byly obrovské " účinky" , a to na muže obecně , ale na
muži jako Whitehead .
28
Existují tedy dvě matematika . Tam je skutečné matematika
skuteční matematici , a tam je to, čemu říkám" triviální "
matematika , pro nedostatek lepšího slova . Triviální matematika
mohou být odůvodněny argumenty, které by se apelovat na Hogben , nebo
další spisovatelé škole , ale není tam žádná taková obrana pro
skutečné matematice , které musí být odůvodněny jako umění , pokud to může být
odůvodněno vůbec . Na tom není nic ani v nejmenším paradoxní nebo
neobvyklé v tomto pohledu , což je to, že koná obvykle matematiky .
Máme ještě jednu otázku ke zvážení . Jsme dospěli k závěru,
, žeje triviální matematiky , v celku , což je užitečné , a
že skutečné matematika , v celku , není , totriviální
matematika dělá , a skutečné matematika není , " konat dobro "
v jistém smyslu , ale musíme stále ptát , zda jeden druh
matematika dělá škodu . Bylo by paradoxní tvrdit, že
matematika jakéhokoli druhu dělá velké škody v době míru , tak, aby
jsme řízeni k posouzení vlivů matematiky
44
na válku . Je každý obtížné tvrdit takové otázky vůbec
klidně teď , a měl jsem raději se jim vyhnout ;
ale nějaká diskuse se zdá nevyhnutelný . Naštěstí , je potřeba
nebudedlouhá .
Tam je jedna uklidňující závěry, které je snadné pro skutečné
matematik . Skutečné matematika nemá žádný vliv na válku . nikdo
Dosud objevil jakýkoliv bojovný účel musí být podávána pomocí teorie
čísel nebo relativity , a zdá se velmi nepravděpodobné, že by někdo
učiní tak po mnoho let . Je pravda, že tam jsou pobočky
aplikované matematiky , jako je například balistiky a aerodynamiky , které
byly vyvinuty záměrně pro válku a poptávkyzcela
vypracovat techniku ​​: to je možná těžké jim říkat " triviální " , ale
žádný z nich nemá žádný nárok na postavení jako " skutečný " . Jsou skutečně
odporně ošklivé a nesnesitelně nudné , ani Littlewood nemohl
aby balistika slušný , a pokud nemohl , kdo může ? So
skutečný matematik má své svědomí jasný , tam není nic, co by
nastavit na libovolnou hodnotu jeho práce může mít , matematika je , jak jsem řekl,
v Oxfordu ,"neškodný a nevinný " povolání .
Triviální matematiky , na druhé straně , má mnoho aplikací
ve válce . Odborníci dělostřelby a návrháři letounu , pro
příklad , nemohl dělat svou práci bez něj . Aobecně
Účinek těchto aplikací je prostý : matematika usnadňuje ( není-li
tak samozřejmě jako fyzika nebo chemie ) moderní , vědecké , " celkem "
války .
Není tak jasné, jak by se mohlo zdát, že je to politováníhodné ,
protože tam jsou dva ostře kontrastovala názory na moderní
vědecké válka . První anejvíce zřejmé, je to, že účinek
věda o válce je pouze zvětšit svou hrůzu , a to jak zvyšováním
utrpení menšiny , kteří mají bojovat , a tím, že rozšiřuje
je do jiných tříd . To jenejpřirozenější a ortodoxní pohled .
Ale je tuvelmi odlišný pohled, který se zdá také docela obhajitelné ,
a které bylo uvedeno s velkou silou od Haldane v
Callinicus18 . Je možné tvrdit, že moderní válka je méně
18 JBS Haldane , Callinicus :Defence of Chemical Warfare ( 1924 ) .
45
hrozný než válčení pre - vědeckých časy , že bomby jsou
pravděpodobně více milosrdný než bajonety , že slzný plyn a
hořčičný plyn jsou možná nejvíce humánní zbraně ještě vymysleli
o vojenské vědě , a žeortodoxní názor se opírá výhradně o
Loos - myšlení sentimentalism19 . To může také vyzval ( i když toto
nebyl jeden z Haldane prací ) , ževyrovnání rizik
která věda se očekává, že přinese bude v dlouhodobém rozsahu
blahodárný , že život civilista není cennější nežvojáka ,
aniženy více nežmuže , že něco je lepší než
koncentrace divokosti na jedné konkrétní třídě , a to v
Stručně řečeno, čím dřív přijde válka, " všechno " , tím lépe .
Nevím , který z těchto názorů je blíž k pravdě . to je
naléhavé apohybující se otázka , ale musím se hádat zde. to
se týká pouze " triviální ", matematice, které by se daly
Obchodní Hogben k obraně , nikoli moje . Případy, k jeho
matematika může být poněkud víc než jen trochu zašpiněné , v případě
moje je nedotčena .
Ve skutečnosti , tam je víc třeba říci, že od té doby je tam jeden účel na
Každopádně , které jsou skutečné matematika může sloužit ve válce . Když
Svět je šílený , můžematematik najít v matematice an
nesrovnatelné analgetikum . Pro matematiky je ze všech umění a
vědy ,nejvíce strohý anejvíce vzdálené amatematik
by měla být ze všech lidí, kdo může nejvíce snadno uchýlit
kde , jak říká Bertrand Russell , " alespoň jeden z našich ušlechtilejší
impulsy nejlépe uniknout z ponuré exiluskutečného
svět . Ješkoda, že to by mělo být nutné , aby jeden velmi
vážný rezervace - on nesmí být příliš starý . Mathematics není
kontemplativní , aletvůrčí subjekt , nikdo nemůže čerpat mnohem
útěcha od něj , když on ztratil sílu nebo chuť
vytvářet , a to je apt se stane s matematik poněkud brzy . to
19 Nechci předjímat otázku tímto hodně zneužité slovo , to může být používáno zcela
oprávněně uvést určitý typ nevyvážené emocí . Mnoho lidí , samozřejmě , použijte
" sentimentalism " jako nadávka pro druhých slušné pocity , a " realismus " jako
zamaskovat jejich vlastní brutality.
46
Je to škoda , ale v tom případě , že nezáleží na tom hodně stejně ,
a to by bylo hloupé se starat o něj .
29
I skončí s přehledem mých závěrů , ale jejich uvádění do
více osobním způsobem . Řekl jsem na začátku, že každý, kdo
brání jeho předmět zjistí, že on je bránil a my
zdůvodnění života profesionálního matematika je vázán
být na dně ,ospravedlnění z mé vlastní . Tak tato závěrečná
Sekce bude ve své podstatěfragment autobiografie .
Nemůžu si vzpomenout, kdy to, že chtěl být cokoli , ale
matematik . Domnívám se, že to bylo vždy jasné, že můj specifický
schopnosti stanovit tímto způsobem , a to mě nikdy nenapadlo pochybovat
Verdikt z mých starších . Nevzpomínám si, že se cítil , jako chlapec , každá
vášeň pro matematiku , a takové pojmy jako já může měli z
kariéra matematika byly daleko od šlechtice . Myslel jsem, že
matematika , pokud jde o vyšetření a stipendií : Chtěl jsem
porazit ostatní chlapci , a to zdálo se, žezpůsob, jakým jsem mohl
to nejvíce rozhodující .
Byl jsem asi patnáct , když ( v poněkud zvláštním způsobem ) moje ambice
se ostřejší zatáčky . Tam jekniha " Alan St Aubyn'20 tzv.
Fellow Trojice , jedna z řady norem pojednávajících s tím, co má
být Cambridge vysoká škola život . Domnívám se, že je tohorší kniha
než většina Marie Corelli je , alekniha může být zcela stěží
špatné, pokud to vystřelí chytré chlapce představivost . K dispozici jsou dva hrdinové ,
Hlavním hrdinou tzv. Flowers , který je téměř zcela dobře , a
sekundární hrdina ,mnohem slabší plavidlo s názvem Brown . květiny
a Brown najít mnoho nebezpečí v univerzitním životě , alenejhorší je
hazard salon v Chesterton21 provozuje slečny Bellenden ,
dvě fascinující , ale velmi zlé mladé dámy . květiny
přežije všechny tyto problémy , je druhý Wrangler a Senior
20 ' Alan St Aubyn " byla paní Frances Marshall , manželka Matthew Marshall .
21 Ve skutečnosti , Chesterton postrádá malebné funkce .
47
Classic , a podaří se automaticky do Fellowship ( jako já předpokládám,
on by udělal poté ) . Brown podlehne , ničí jeho rodiče ,
bere na pití , je zachráněn od delirium tremens během bouřky
pouze modlitbami Junior děkan , je mnohem obtížnější
v získávání i obyčejný stupeň , a nakonec se stane
misionář . Přátelství není rozbil ty nešťastný
události , a květiny myšlenka bloudit Brownovi , s milující
škoda , jak pije z přístavu, a jí ořechy poprvé v Senior
Kombinace pokoj.
Nyní Květiny byldost slušný člověk ( tak daleko, " Alan St
Aubyn "může čerpat jeden) , ale i můj naivní mysl
odmítl přijmout ho jako chytrý . Kdyby mohl dělat tyto věci , proč
ne? Zejménazávěrečná scéna v kombinaci pokoji
úplně fascinovalo mě , a od té doby , až jsem získal
jeden , matematika pro mě znamenalo předevšímFellowship na Trinity .
Zjistil jsem najednou , když jsem přišel do Cambridge , žepřátelství
předpokládané " původní práce " , ale to bylodávno předtím, než jsem tvořil
jakákoli definitivní představu o výzkumu . Jsem samozřejmě našel ve škole , jak
každé budoucí matematik ódy , že bych mohl dělat věci, často
mnohem lepší než moji učitelé , a dokonce i na Cambridge , zjistil jsem ,
i když samozřejmě mnohem méně často , že bych mohl někdy udělat
věci lepší než přednášejících College . Ale já jsem byl opravdu dost
ignorant , i když jsem vzal Cambridgi , předmětů , na kterých jsem
strávil zbytek svého života , a přesto jsem si myslel matematiky
jako v podstatě" konkurenční " téma. Moje oči byly poprvé otevřeny
profesor lásky , který mě učil na několika podmínkách a dal mi
můj první vážný pojetí analýzy . Alevelký dluh, který jsem
dluží ním byl , po tom všem , předevšímpoužita matematik -
byla jeho rada číst Jordánska slavné Cours d' anlyse ;
a já nikdy nezapomenu na údiv , s níž jsem četl , že
pozoruhodné dílo ,první inspirací pro mnoho matematiků
z mé generace , a dozvěděl poprvé , když jsem četl to , co
matematika opravdu znamenalo . Od tohoto okamžiku jsem byl v mém
48
způsob, jakskutečný matematik , se zvukovými matematických ambicemi
askutečnou vášeň pro matematiku .
Napsal jsem hodně v průběhu příštích deseti let , ale jen velmi málo z
jakýkoli význam , nejsou více než čtyři nebo pět papíry , které
Já si ještě pamatuji s jistým uspokojením . Skutečná krize mého
kariéra přišla o deset nebo dvanáct let později , v roce 1911 , kdy jsem začal
dlouhá spolupráce s Littlewood , a v roce 1913 , kdy jsem
objevil Ramanujan . Všechny moje nejlepší práce od té doby
spojena s jejich , a je zřejmé, že můj vztah s
jim bylrozhodující událost v mém životě . Pořád si říkám , když
Jsem v depresi , a najít sám nucen poslouchat pompézní a
únavné lidí , "No , já jsem udělal jednu věc, kterou nikdy
udělal , a to je , že spolupracoval s oběma Littlewoodem
a Ramanujan na něco takového za stejných podmínek . " Je na nich , aby
Dlužím nezvykle pozdní dospělosti : Byl jsem v mých siláchněco kolem
čtyřicet , když jsem bylprofesorem na Oxfordu . Od té doby jsem
trpěl , že stabilní zhoršení jakosti, které je společné osud
starších lidí a zejména starších matematiků .
matematik může být ještě dostatečně kompetentní v šedesáti , ale pokud je to
zbytečné očekávat, že bude mít originální nápady .
Je zřejmé , že nyní můj život , za to, co stojí za to , je dokončen , a
že s tím nemůžu nic dělat, může znatelně zvýšit nebo snížit jeho
hodnota . Je velmi těžké být nezaujatý , ale počítat se mi to
" Úspěch " , jsem měl víc odměnu a ne méně , než bylo v důsledku
muž mého konkrétního stupně schopnosti . Jsem držel sérii
komfortní a " důstojné " pozice . Měl jsem velmi málo
potíže s jednotvárnějším rutiny univerzit . Nesnáším " učení " ,
a musel udělat velmi málo , takovou výuku , jak jsem to udělal byl
téměř výhradně dohled výzkumu , jsem rád přednášel , a mají
přednášel hodně na velmi schopných tříd , a já mám vždy
měl dostatek volného času pro výzkumů , které bylyjedním
velký trvalé štěstí mého života . Zjistil jsem, že je to snadné
spolupracovat s ostatními , a spolupracovali na velkém měřítku se dvěma
výjimečných matematici , a to se mi umožňují přidat do
49
matematika hodně víc , než jsem mohl rozumné mít
Očekává se . Měl jsem své zklamání , stejně jako jakýkoli jiný
matematik , ale žádný z nich nebyl příliš vážný , nebo má
mě obzvláště nešťastný . Kdybych byl nabídnut život ani
lepší, ani horší, když mi bylo dvacet , tak bych přijal
bez váhání .
Zdá se absurdní domnívat se, že jsem mohl " udělat lépe " . já
nemají jazykovou nebo umělecké schopnosti , a velmi malý zájem
experimentální věda . Možná jsem bylsnesitelný filozof ,
, ale ani jeden z velmi originální druhu. Myslím, že bych mohl udělal
dobrý právník , ale žurnalistika jepouze profese , mimo
akademický život , ve kterém bych se cítil opravdu jisti, ze my
změny . Není pochyb o tom , že jsem měl pravdu , že jematematik ,
v případě, že kritérium pro to, co se běžně nazývá úspěch .
Moje volba byla správná , pak , jestli to, co jsem chtěl, bylorozumné
pohodlný a šťastný život . Ale advokáti a obchodníci s cennými papíry a
sázkové kanceláře často vedou pohodlné a šťastný život , a to je velmi
obtížné vidět , jak je svět bohatší o jejich existenci . je tam
nějaký smysl , ve kterém mohu tvrdit, že můj život byl méně marné
než jejich ? Zdá se mi znovu, že je tam jen jeden možný
Odpověď: Ano , možná , ale pokud ano, tak z jediného důvodu :
Nikdy jsem neudělal nic " užitečného " . Žádný objev moje má
vyrobeny , nebo je pravděpodobné, aby přímo nebo nepřímo , za dobré nebo špatné ,
nejmenší rozdíl na okrasné světa . Jsem pomohl
školit další matematici , ale matematici stejného druhu
jako jsem já , a jejich práce byla doposud v každém případě , když jsem měl
jim pomohl k tomu , jak je k ničemu, jako moje vlastní . Posuzovala všechny praktické
normy,hodnoty mého matematického života je nulová , a mimo
matematika je triviální stejně . Mám jen jednu šanci
unikl verdikt úplné maličkosti , které mi mohou být posouzeny jako
vytvořili něco, co stojí za to vytvořit . A to jsem si vytvořil, je
nepopiratelný :Otázkou je, o jeho hodnotě .
Případ pro svůj život , pak , nebo to někdo jiný , kdo má
bylmatematik ve stejném smyslu, který jsem jednou , je
50
toto : že jsem přidal něco k poznatkům , a pomáhal ostatním
přidat více , a že tyto somethings mít hodnotu , která se liší
v míře pouze , a ne v naturáliích , ze to výtvory
velcí matematici , nebo některý z dalších umělců , velkých i malých ,
kteří opustili nějakou památku za nimi .
51
Poznámka
Profesor Široké a Dr. Snow oba poznamenal se mi, že když jsem
mám spravedlivou rovnováhu mezi dobrem a zlem provádí
věda , nesmím si dovolit být příliš posedlý svými účinky
na válku , a že i když jsem přemýšlel o nich , musím
si uvědomit, že to má mnoho velmi důležitých účinků kromě těch,

které jsou čistě destruktivní . Tak ( vzít druhý bod první ) , I
Musíte si uvědomit ( a) , žeorganizace z celé populace
za války je možné pouze prostřednictvím vědeckých metod , ( b ) , které
věda se výrazně zvýšila sílu propagandy , která je
používá téměř výhradně pro zlo , a ( c) , že učinil
" neutralita " téměř nemožné , nebo bez významu , takže neexistují žádné
delší " ostrovy míru " , z níž rozum a obnovu by mohly
rozšířil postupně po válce . To vše , samozřejmě , má tendenci
posílit řízení proti vědě . Na druhé straně , i když
stisknutím tohoto případu , abyco nejvíce , to je stěží možné udržet
vážně , žezlo provádí vědy není zcela převažuje nad
odobré . Například , v případě, deset milionů životů bylo ztraceno
v každé válce ,čistý dopad vědy by ještě bylo
zvýšit průměrnou délku života . Stručně řečeno , moje § 28 , je příliš
" Sentimentální " .
Nechci zpochybňovat oprávněnost těchto kritiky , ale pro
důvody, které jsem stát ve své předmluvě , jsem zjistil, že je nemožné , aby
s nimi setkat ve svém textu , a spokojit se s tímto potvrzením .
Dr. Sníh byl také zajímavý bod, o § 8 . i když
poskytujeme , že " se Archimedes mít na paměti , když Aischylos
je zapomenut " , není matematický slávapříliš " anonymní " , aby
být zcela uspokojující ? Mohli bychom vytvořit poměrně ucelený obraz o
osobnost Aischylos ( ještě více , samozřejmě , Shakespeara
nebo Tolstoj ) od samotných jejich děl , zatímco Archimedes a
Eudoxus zůstanou pouhými názvy .
52
Pan JM Lomas dát tento bod více malebně , když jsme
byly kolem sloupec Nelson na Trafalgar Square . Kdybych měl
socha na sloupec v Londýně , bych raději sloupce se
tak vysoká, žesocha byla neviditelná , nebo dostatečně nízká
funkce být rozpoznatelné ? Chtěl bych si vybrat první možnost ,
Dr. Sníh, pravděpodobně ,druhý .