Čísla
    Byl jednou jeden nechudý, nebohatý chasník. Rád chodil po světě, protože byl šťastný, že má kolem sebe tolik krásných věcí a že každá z nich je na svém místě a že dělá přesně to, co dělat má.

    Byl šťastný i proto, že směl věci zkoumat, že ke každé záhadě byl připraven klíč. Vždy měl dost času na její vyřešení, protože svět sice byl každý den jiný, ale vše se v něm otáčelo a jeho děje se nejrůznějšími způsoby opakovaly, stejně jako den střídala noc.

    Jedné noci měl sen. Zjevilo se mu devět sudiček, jedna za druhou k němu přistupovaly a dávaly mu požehnání:

  1. Od teď budeš umět mluvit o počtu čehokoli. Jsem číslo 1.

  2. Už nebudeš muset ukazovat na prstech, kolik švestkových knedlíků si přeješ k obědu. Konečně se jich najíš, aniž by sis musel zouvat boty.
    Číslům vzniklým opakovaným přičítáním jedničky se říká přirozená.
  3. Od teď budeš umět mluvit o věcech tam, kde žádné nejsou. Jsem číslo 0

  4. Nic je skoro obyčejné číslo, má však některé výhody i nevýhody plynoucí z toho, že je obyčejné nic, například nulou nelze dělit.
    Čísla přirozená spolu s nulou se nazývají čísla celá nezáporná.
  5. Od teď budeš umět mluvit o věcech, které přesahují svět. Jsem nekonečno

  6. Nekonečno je označení pro víc než jakékoli číslo. Toť vše. Používat ho jako číslo můžeme, ale operace s ním mají svá úskalí. Nekonečna lze bezpečně sčítat a násobit, nelze je odčítat ani dělit. Chceme-li nekonečno plně využít, musíme mít na paměti proces, kterým to které nekonečno vzniká. Pak lze nekonečno použít ke špičkových kouskům.
  7. Od teď budeš umět mluvit o věcech, které jsou ve světě naruby. Jsem záporné číslo.

  8. Se zápornými čísly se člověku počítání velmi zjednodušuje - nemusí se bát odčítat větší od menšího.
    Čísla přirozená spolu s nulou a čísly zápornými se nazývají čísla celá.
  9. Od teď budeš umět mluvit o věcech dělených na menší kousky. Jsem dělení.

  10. Dělení vede na zlomky, ty se nechají převádět na čísla desetinná, buď s konečným počtem cifer (11/8 = 1.375 ) nebo periodická (5/3 = 1.6...). Říká se jim čísla racionální
    Patří mezi ně i čísla celá, protože se dají též zapsat ve tvaru zlomku.
    A co čísla desetinná neperiodická? Nějaká existují, například odmosnina ze dvou nebo ze tří. Časem se zjistilo, že jich je spousta, nekonečně mnoho, údajně více než všech zlomků. Říká se jim čísla iracionální.
    Dohromady čísla arionální a iracionální dávají čísla reálná.
    Tato čísla se s oblibou mapují na přímku, které se potom říká číselná osa.
  11. Od teď budeš umět mluvit o věcech, které způsobují, že vše dohromady hrá. Jsem komplexní číslo. Vše prostupuji, avšak nikdy nikdo mě ani nespatří ani neodváží.

  12. Reálná čísla se zahrnují mezi komplexní. 
    Komplexní čísla se s oblibou mapují na rovinu, které se potom říká komplexní rovina.
  13. Od teď budeš umět mluvit o věcech, které se otáčejí a tak se stále vracejí. Jsem číslo π (pí 3,14159...). Jsem jen poměr mezi průměrem a obvodem kruhu. 

  14. Nelze mě zapsat pomocí dělení, protože kulaté věci musí být hladké. Jsem tedy číslo iracionální.
  15. Od teď budeš umět mluvit o tom, co je málo a co je mnoho. Jsem číslo e (Eulerovo číslo 2,71828...). Stojím na půli cesty mezi číslem 1 a nekonečnem, jsem více než 2 a jsem méně než 3.

  16. Jsem číslo iracionální, protože každý sice na mě snadno dosáhne, ale nikdy mě nesmí uchopit.
    Neomezený růst se znázorňuje exponenciální funkcí y=ax. Exponenciální funkce podobná pro x=0 lineární funkci y=x je právě funkce y=ex.
    Výpočet hodnoty e lze provést výpočtem limity (1 + 1/n)n , což je vlastně hodnota Taylorova rozvoje  funkce y=ex z bodu 0 do bodu 1. 
    Čísla 1, i, π, e spojuje dohromady vztah ei*π = 1 - lze odvodit
  17. Od teď budeš umět mluvit o kráse. Jsem číslo φ (fí 1,61803...). Jsem poměr nejlepšího vznikání jedné věci z druhé. Proto jsem více než 1 a jsem méně než 2*. Je na mě, aby nebylo poznat, zda menší věc vznikla z větší nebo naopak.

  18. Jsem číslo iracionální, protože každý sice na mě snadno dosáhne, ale tajemství krásy se nesmí zcela vydat, samotné nikomu štěstí nepřinese. 
  19. Chci ti ještě říci, že při každém vznikání vzniká vedle nového ještě něco navíc. Nazývejme to třeba duše. Duše vzniklé při mém způsobu vznikání jsou všechny stejně velké, proto se mohou spojovat dohromady a dát vzniknout životu. Tak jsi se narodil i ty.
    Než odešly, sudičky řekly: Naše požehnání jsou prostá a mocná. Aby Tě nikdy nezklamala a aby Ti dala tolik síly, kolik budeš potřebovat, musíš dbát na dvě věci: věřit ve své požehnání a umět je použít v pravý čas.
 
                               9
                              8 8
                             7   7
                            6     6
                           5       5
                          4         4
                         3           3
                        2             2
111111111 x 111111111 = 1               1



*) Existuje ještě jedna význačná řada pro dělení s podobností - je to půlení obdélníka s poměrem stran 1 : sqrt(2). Používá se jako norma velikosti papíru - nejčastější je A4, ale výchozí je A0 o velikosti 1 m² s uvedeným poměrem stran.
Číslo φ souvisí s Fibonacciho posloupnosti [0:1:1:2:3:5:8:13:21:34:55...] a také s poměry stran pravidelného pětiúhelníka.


Číselné vzory

Důkaz iracionality √2

Obdobně lze postupovat pro libovolné √m , kde m je prvočíslo. Tento důkaz znal už Pythagoras. Ukazuje se v něm obousměrnost postupu svět - myšlenka - teorie, tedy, že: -----------------------------------------------------------------------------
Short proof of irrationality of golden cut (http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio)

[edit] Contradiction from an expression in lowest terms

Recall that:

    the whole is the longer part plus the shorter part;
    the whole is to the longer part as the longer part is to the shorter part.

If we call the whole n and the longer part m, then the second statement above becomes

    n is to m as m is to n − m,

or, algebraically

    \frac nm = \frac{m}{n-m}.\qquad (*)

To say that φ is rational means that φ is a fraction n/m where n and m are integers. We may take n/m to be in lowest terms and n and m to be positive. But if n/m is in lowest terms, then the identity labeled (*) above says m/(n − m) is in still lower terms. That is a contradiction that follows from the assumption that φ is rational.

----------------------------------------------------------------------------------
THE GOLDEN RATIO IS IRRATIONAL
An Algebraic Proof

First, let's start with an assumption (actually two assumptions). The golden ratio is between 1 and 2. Neither of these assumptions is difficult to prove. Now let's assume there are positive integers x and y such that the golden ratio is equal to . Then 1 < < 2 so y < x < 2y which gives 0 < x-y < y. We may either assume at this point that is in reduced form, or we may skip that assumption (the finishing touches of the proof are different, but the middle section is identical in either case). If we do make the assumption that is reduced, it is worth noting that the reduced form of a rational number is the form with the smallest positive denominator.

The definition of the golden ratio implies that
Now a little algebra:
x2=xy + y2
x2-xy = y2
x(x-y)=y2

Thus if is equal to the golden ratio, then there is another representation of the same number that has a smaller positive denominator. If we assumed earlier that is reduced, then we have a contradiction. Otherwise, note that we could apply the same logic to to find a fraction also equal to the golden ratio with a still smaller positive denominator. Since there are only a finite number of positive integers less than y, this process cannot continue indefinitely which gives us a contradiction.