Referenční dokument

Důkaz (k dopracování):

http://mathoverflow.net/questions/10535/ways-to-prove-the-fundamental-theorem-of-algebra

if p(z)=zn+an−1zn−1+…+a0 is a polynomial then |p(z)| tends to infinity as |z| tends to infinity (this is the "leading term dominates" estimate for large |z|). It follows easily that |p| attains a minimum value, since outside a large disc centered at 0 the value of |p| is really big, and the disc is compact, so |p| attains a minimum on it. We want this minimum value to be zero, so suppose for the sake of contradiction it isn't, then we can change coordinates if necessary so that minimum is attained at 0, and rescale p so the minimum is 1.

Then you just have to show that if p(z)=1+bkzk+…+bnzn (where k≥1) then you can make |p| smaller than 1 for some nonzero z. But this is just the same kind of estimate as before: the term bkzk dominates the other terms for z small, and we can easily arrange for bkzk to be a negative real giving the required contradiction.

Z grafického znázornění (je při něm uložena i dokumentace - v ní viz příkaz "curve") je vidět, že polynom nad koplexní rovinou se chová zajímavě:

  • plocha tvořená reálnou částí protíná komplexní rovinu v křivkách (1. stupeň v přímce, 2. stupeň v parabolách, ...)
  • plocha tvořená imaginární částí protíná komplexní rovinu rovněž v křivkách (1. stupeň v přímce, 2. stupeň v parabolách, ...)
  • křivky dané oběma částmi se protínají vždy v jednom bodě a v pravém úhlu. Tak vzniká n kořenů.
  • Vypadá to, že by také mohl existovat důkaz úplnou indukcí.
    1. dokázat větu pro polynom 1. stupně
    2. Ukázat, že pro n-tý stupeň:
       - Tento stupeň majorizuje nějakým číslem M předchozí stupně v absolutní hodnotě.
       - Sám spojitě probíhá všechny možné hodnoty od -M do +M a od -iM do +iM 
         a i hodnoty mezi těmito mezemi, tj. někde musí nabýt hodnotu opačnou k hodnotě
         předchozího polynomu.

    Jako ilustraci vložit:

    • tři obrázky pro obecnou lineární rovnici, tj. real, imag a součtový
    • tři obrázky pro obecnou kvadratickou rovnici, tj. real, imag a součtový