Exponenciální funkce


Definice

Exponenciální funkce jsou funkce s předpisem

M = { [x; y], x , y, a ∈ ℝ, a > 0 | y = ax },

kde:

  • x je nezávisle proměnná,
  • y je závisle proměnná,
  • a je parametr zvaný základ exponenciální funkce.

Popis

  • Exponenciální funkce je definována na intervalu (-∞,  ∞), tedy pro všechna reálná čísla.
  • Jejím oborem hodnot jsou všechna reálná čísla v intervalu (0,  ∞).
  • Její průběh závisí na parametru a takto:
    • pro a < 1 je klesající,
    • pro a = 1 je konstantní a přechází ve funkci y = 1,
    • pro a > 1 je rostoucí.
  • Vždy obsahuje uspořádanou dvojici [0; 1], čili její graf prochází tímto bodem.

Exponenciální funkce o různých základech.



Zavedení čísla e

Mezi všemi exponenciálními funkcemi je význačná ta, která se při průchodu bodem
[0; 1]

  • vykazuje jednotkový růst,
  • čili je tam podobná přímce se směrnicí 1,
  • jinak řečeno je tam podobná lineární funkci s předpisem y = x + 1.

Základ této význačné funkce označujeme jako číslo e a nazýváme je Eulerovým číslem. V matematice má široké použití, podobně jako číslo π. Hodnotu čísla e si odvodíme na zvláštní stránce.


Obrázek znázorňuje rychlosti růstu funkcí y = ex a y = x + 1.
Je na něm vidět, že rychlost růstu y = ex v bodě 0 je stejná jako rychlost růstu
y = x + 1, protože graf funkce y = x + 1 je tečnou přímkou grafu funkce y = ex.


Logaritmická funkce
  • Je inverzní funkcí k funkci exponenciální y = ax. Je proto:
    • definována pro parametr a > 0 & a ≠ 1
    • - parametr a = 1 vylučujeme, protože funkce y = 1x není prostá,
    • její definiční obor je (0,  ∞),
    • její obor hodnot je (-∞, ∞),
    • můžeme ji popsat tak, že v zápisu y = loga(x)
    • je hodnota y exponent, kterým musíme umocnit a, abychom dostali x, tedy se dá zapsat ay = x neboli a(loga(x)) = x.
  • Zápis logaritmické funkce má několik variant:
    • y = loga(x) pro obecné a.
    • y = ln(x) pro a = e (tzv. přirozený logaritmus, latinsky logaritmus naturalis),
    • také bychom mohli napsat y = loge(x)
    • y = log(x) pro a = 10 (tzv. desítkový nebo též dekadický logaritmus),
    • také bychom mohli napsat y = log10(x).

Logaritmické funkce o různých základech.


Příklady exponenciálních funkcí o různých základech
a k nim příslušných funkcí logaritmických.



Animace exponenciální a logaritmické funkce
Pro funkci y = ax nastavte parametr:

a = 

Sorry, your browser does not support canvas. 

Poznámky
  • Všimněte si, že grafy y = ax a y = logax se nevykreslí pro a ≤ 0, protože pro
    a ≤ 0 není definována y = ax a tedy ani k ní inverzní funkce y = logax.
  • Rovněž se nevykreslí graf funkce y = logax pro a = 1, protože funkce y = 1x je rovna funkci konstantní y = 1, ta není prostá a tedy y = logax pro a = 1 není definována. 
 

Vlastnosti exponenciální a logaritmické funkce
  • Pro přepočet mezi různými základy exponenciální funkce a a b platí vzorec
  •                  bx = a(x * loga(b))
    Důkaz
    Použijeme pravidla pro počítání s mocninami a význam logaritmu:
    bx = a(x * loga(b)) = (a(loga(b)))x = (b)x = bx
     
  • Pro přepočet mezi různými základy logaritmické funkce a a b platí vzorec
  •                  logb(x) = loga(x) / loga(b),
    Např. pro přepočet mezi základy 2 a e platí:
                     log2(x) = loge(x) / loge(2) = ln(x) / ln(2)
    Důkaz
    Použijeme pravidla pro počítání s mocninami a význam logaritmu:
    logb(x) = loga(x) / loga(b)
    logb(x) * loga(b) = loga(x)
    a(logb(x) * loga(b)) = a(loga(x))
    a(loga(b) * logb(x)) = x
    (a(loga(b)))logb(x) = x
    (b)logb(x) = x
    x = x
     
  • Pravidlo pro logaritmus součinu: loga(x * y) = loga(x) + loga(y)
  • Důkaz
    Použijeme pravidla pro počítání s mocninami a význam logaritmu:
    loga(x * y) = loga(x) + loga(y)
    a(loga(x * y)) = a(loga(x) + loga(y))
    x * y = a(loga(x)) * a(loga(y))
    x * y = x * y
     
  • Pravidlo pro logaritmus podílu: loga(x / y) = loga(x) - loga(y)
  • Důkaz
    Použijeme pravidla pro počítání s mocninami a význam logaritmu:
    loga(x / y) = loga(x) - loga(y)
    a(loga(x / y)) = a(loga(x) - loga(y))
    x / y = a(loga(x)) * (1 / a(loga(y)))
    x / y = x / y
     
  • Pravidlo pro logaritmus mocniny: loga(xy) = loga(x) * y
  • Důkaz
    Použijeme pravidla pro počítání s mocninami a význam logaritmu:
    loga(xy) = loga(x) * y
    a(loga(xy)) = a(loga(x) * y)
    xy = (a(loga(x)))y
    xy = (x)y
    xy = xy




Praktické použití exponenciální funkce

Exponenciální funkce je funkcí, která charakterizuje neomezený růst.

Příklady 1

Růst populace králíků poté, co byli roku 1859 dovezeni do Austrálie:

  • Odhadneme-li, že každý pár se během roku pomnožil na 7 párů, jejich počet tvořil posloupnost 2, 2 * 7, 2 * 7 * 7, ..., což je geometrická posloupnost se vzorcem an = 2 * 7n.
  • Protože se králíci nerodí všichni v jeden okamžik, pro určení jejich přibližného počtu v určitém čase je možno použít exponenciální funkci n = 2 * 7t, kde t je čas v rocích.
  • Růst počtu králíků se po určité době začal zpomalovat, nicméně trval asi 50 let a jejich počet v té době dosáhl 600 milionů, čili 6 * 108.
  • Pokud by se růst jejich počtu zpomalovat nezačal, dosáhl by v té době hodnoty 3,6 * 1042.

Příklad 2

Jestliže si někdo uloží do banky peníze se sjednaným úrokem, může počítat s tím, že množství jeho peněz se stále rychleji zvyšuje.

  • Například při uložení 5000 Kč s úrokem 12 % se částka zvyšuje podle vzorce
    y = 5000 * 1,12t, kde t je čas v rocích.
  • Pro jednotlivé roky tak dostáváme geometrickou posloupnost
    5000, 5600, 6272, 7024,64, 7867.5968, ... Kč.
  • Pokud chceme znát hodnotu i v průběhu některého roku, například v polovině třetího roku, banky v tom případě nepoužívají vzorec y = 5000 * 1,122,5.
    Místo toho:
    • spočítají úrok za uplynulá léta,
    • k němu přidají lineárně vypočítaný úrok za zlomek aktuálního roku.
    Za 2 1/2 roku je tedy uspořeno (5000 * 1,122) * 1,5 = 6272 * 1,5 = 9408 Kč.

Příklad 3

Pokud někdo dlouhodobě vlastní peníze, musí počítat s inflací, čili s tím, že jeho peníze ztrácejí postupně hodnotu. Tato ztráta vzniká například tiskem nových peněz a s tím souvisejícího neustálého zdražování běžného zboží. Ve většině zemí činí inflace asi 2 % ročně. 

  • Například při vlastnictví částky 10000 Kč a inflaci 2 % se hodnota peněz snižuje podle vzorce
    y = 10000 * 0,98t, kde t je čas v rocích.
  • Pro jednotlivé roky dostáváme geometrickou posloupnost hodnot:
    10000, 9800, 9604, 9411,92, ....



Praktické použití logaritmické funkce

Logaritmická stupnice

Naše smysly vnímají některé jevy, například sílu zvuku nebo intenzitu osvětlení ve velmi širokém rozsahu, který může činit i 1 : 1012. Ovšem tolik úrovní náš mozek nedokáže rozlišit, většinou jich bývá asi 100. Potřebný převod dělají naše smysly, a to tak, že jednotlivé úrovně vnímáme v logaritmickém odstupňování:

Na obrázku je nakreslen graf logaritmické funkce a upravená měřítka na osách:

  • Na ose x jsou hodnoty intenzity jevu, například osvětlení v luxech. Osvětlení 2 luxy odpovídá osvětlení Měsícem, osvětlení 50000 luxů odpovídá osvětlení Sluncem.
  • Na ose y jsou našimi smysly vnímané intenzity jevů. V našem případě osvětlení Měsícem vnímáme jako 93 / 5 ≈ 20-krát slabší než osvětlení Sluncem.
    Několik hodnot máme zobrazeno v tabulce.
x
  1
  2
  5
 10
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
20000
50000
y
1
5
11
16
21
27
32
37
43
48
54
62
70
81
93
Příklady
  • Intenzita zvuku - poměr se logaritmuje logaritmem o základu 10 a označuje jednotkou bel, která se z důvodu snadnějších výpočtů nahrazuje jednotkou desetinovou, zvanou decibel:
    • Pro nejslabší slyšitelné zvuky se intenzita stanovuje 0 B čili 0 dB (decibelů)
    • Tichý šepot má intenzitu asi 3 B čili 30 dB, tj. poměr 1 : 1000
    • Běžný hovor má intenzitu asi 6 B, čili 60 dB, tj. poměr 1 : 1000000
    • Hlasitá hudba má intenzitu asi 80 dB
    • Poškozování sluchu začíná od intenzity 85 dB
    • Práh bolesti má intenzitu asi 120 dB
    Poměr krajních intenzit je 1 : 1012, subjektivní dojem je však spíše 1 : 120, čemuž dobře odpovídá údaj 120 dB.

  • Hvězdná velikost - hvězdáři ji přiřazovali hvězdám již ve starověku. V roce 1952 byl vytvořen vzorec pro její stanovení. Aby tento vzorec zachoval již dříve přiřazené hvězdné velikosti, má tvar
       m = −2,5 * log10(I / I0), kde:
    • I je světelný tok zkoumané hvězdy,
    • I0 je světelný tok hvězdy o velikosti 0.
    Proto:
    • Nejslabší hvězdička, kterou rozpoznáme pouhým okem, bez dalekohledu, má hvězdnou velikost 6
    • Polárka má hvězdnou velikost 2
    • Vega má hvězdnou velikost 0,03
    • Jupiter má hvězdnou velikost -2,7
    • Měsíc má hvězdnou velikost -13
    • Slunce má hvězdnou velikost -27
    Rozdíl mezi hvězdnou velikostí nejslabší hvězdičky a Slunce je 33, avšak poměr intenzit osvětlení, které poskytují, je přibližně 1 : 1012

  • pH - pomocí této veličiny poměřujeme kyselost a zásaditost roztoků:
    • Velmi silná kyselina, např. kyselina sírová, má pH = 0
    • Neutrální roztok, např. voda, má pH = 7
    • Velmi silná zásada, např. louh draselný, má pH = 14
    Rozdíl pH mezi velmi silnou zásadou a velmi silnou kyselinou je 14, avšak poměr mezi koncentracemi iontů je 1 : 1014
Výpočty s pomocí logaritmů

Před vynálezem počítačů a kalkulátorů se logaritmy používaly pro zrychlení výpočtů, protože s jejich pomocí:

  • násobení se převádí na sčítání, např. pro úlohu 5 * 12 spočteme:
    • log(5) + log(12) ≈ 0,699 + l,079 = 1,778 ≈ log(59,98)
  • dělení se převádí na odečítání, např. pro úlohu 5 / 12 spočteme:
    • log(5) - log(12) ≈ 0,699 - l,079 = -0,38 ≈ log(0,4169)
  • mocnění se převádí na násobení, např. pro úlohu 54 spočteme:
    • log(5) * 4 ≈ 0,699 * 4 = 2,796 ≈ log(625)
  • odmocňování se převádí na dělení, např. pro úlohu 3√5 spočteme:
    • log(5) / 3 ≈ 0,699 / 3 = 0,233 ≈ log(1,71)
Dokonce existuje a do nedávna se běžně používalo tzv. logaritmické pravítko, které bylo jakýmsi předchůdcem dnešního kalkulátoru. Stupnice na tomto pravítku umožňovaly sčítání a odečítání délek úseček, jejich násobení číslem a další funkce. Symboly těchto funkcí jsou na zobrazeném logaritmickém pravítku vidět vpravo (klikněte na obrázek pro jeho zvětšení):


Zdroj

V některých oblastech používáme tuto náhradu násobení sčítáním dodnes:

  • Při práci s čísly v exponenciálním tvaru, např. zapíšeme
  •        3,26*10-9 * 103 = 3,26*10-6,
    tj. pouze sečteme exponenty, aniž bychom skutečně násobili.
  • Při navrhování přístrojů zpracovávajíchích elektrické signály, např. pro televizory a zesilovače:
    • Zesílení či zeslabení signálu v jednotlivých modulech přístroje se udává v poměrových jednotkách stejných jako pro zvuk, tj. v decibelech.
    • Při návrhu přístroje se pak úroveň signálu v jednotlivých modulech určuje sčítáním těchto jednotek a ne jejich násobením. To návrh značně zjednodušuje a zpřehledňuje.


Logaritmy při řešení úloh

Logaritmy použijeme v úlohách, ve kterých se pracuje s exponenty, například při složeném úrokování. 

Příklad

Do banky bylo vloženo 1000 Kč na úrok 2 %. Za jak dlouho se částka zdvojnásobí?

Řešení

Zapíšeme si symbolicky, o co v úloze jde:
2000 = 1000 * 1,02n
Nyní budeme výraz upravovat s cílem vypočítat n, čili osamostatnit n na jedné straně rovnosti:
      2 = 1,02n         // obě strany rovnosti podělíme 1000 - Kiss
ln(2) = ln(1,02n  // obě strany logaritmujeme - je jedno, který logaritmus použijeme
ln(2) = n * ln(1,02)                     // použijeme pravidlo pro logaritmus mocniny
      n = ln(2) / ln(1,02)                // upravíme
      n ≈ 0,69315 / 0,0198 ≈ 35     // použijeme kalkulátor

Zdvojnásobení vkladu tedy dosáhneme za přibližně 35 let.


Zajímavost o logaritmech

Pracovat s logaritmy není zcela jednoduché, ty se však za udělenou pozornost umí odměnit:

Příklad

Dokažte, že log10(5) je číslo iracionální.

Důkaz

Zvolíme důkaz sporem, tedy budeme zkoumat důsledky výroku negovaného:

log10(5) je číslo racionální.
  • Je-li tomu tak, potom lze zapsat log10(5) = r / s., kde r, s jsou čísla celá.
  • Protože log10() je funkce rostoucí, platí log10(5) > log10(1) = 0 a tedy čísla r, s jsou celá kladná.
  • Podle definice logaritmu je 5 = 10r/s
  • Neboli 5s = 10r
  • To ale nemůže platit, protože 5 na libovolný kladný exponent musí končit cifrou 5, zatímco 10 na libovolný kladný exponent musí končit cifrou 0.