Spojitost


Definice


Spojitost funkce v nějakém bodě se jen málo liší od její limity - rozdíl je v tom, že vyšetřujeme i hodnotu v tomto bodě:

  • Funkce f(x) je spojitá zleva v bodě x0, jestliže:
  •       má v tomto bodě limitu zleva L,
          je-li v tomto bodě definována a
          platí f(x0) = L.
  • Funkce f(x) je spojitá zprava v bodě x0, jestliže:
  •       má v tomto bodě limitu zprava L,
          je-li v tomto bodě definována a
          platí f(x0) = L.
  • Funkce f(x) je spojitá v bodě x0, jestliže:
  •       má v tomto bodě limitu L,
          je-li v tomto bodě definována a
          platí f(x0) = L.
Spojitost nás zajímá hlavně na rozsáhlejších úsecích definičního oboru. Definujeme proto:
  • Funkce f(x) je spojitá na intervalu I, jestliže:
    • I je součástí definičního oboru funkce,
    • funkce je spojitá v každém vnitřním bodě I,
    • má-li I levý krajní bod L, funkce je spojitá zprava v L,
    • má-li I pravý krajní bod P, funkce je spojitá zleva v P.



Příklad
  • Podle grafu funkce je tato:
    • nespojitá zleva v x12
    • spojitá zprava v x12
    • spojitá v x3



Příklad

Funkce y = 1 / x má:

  • definiční obor (-∞, 0) ∪ (0, ∞) neboli reálná čísla mimo 0,
  • obor hodnot jsou opět reálná čísla mimo 0.
  • Funkce je spojitá v celém definičním oboru.
  • Pokud bychom ji dodefinovali v bodě 0 hodnotou f(0) = 0,
  • byla by spojitá všude mimo bod 0.




Příklad

Funkce signum(x) je spojitá v celém definičním oboru mimo bod 0.



Příklad

Dirichletova funkce, ač definována všude, není spojitá nikde.
 



Příklad

Dirichletova funkce 1 je spojitá v bodě 0 a v žádném dalším.
 



Příklad

Funkce s jediným hromadným bodem:

  • Nemá ani jeden bod spojitosti. 
  • Pokud bychom ji dodefinovali v bodě 0 hodnotou f(0) = 0,

  • byla by spojitá v bodě 0 zprava.



Věta

Jsou-li nějaké dvě funkce definované na stejném intervalu a jsou-li tam spojité, je na tomto intervalu spojitý i součet těchto funkcí.

Důkaz

Provedeme jej podle definice spojitosti:

  • jelikož jsou obě funkce spojité na dotyčném intervalu, splňují tam příslušné požadavky limit,
  • podle věty o limitě součtu funkcí má součtová funkce na tomto intervalu stejné vlastnosti ohledně limit.
  • protože hodnoty této funkce jsou součtem hodnot obou funkcí, splňuje požadavky na spojitost stejné jako obě funkce.


Věta o omezenosti
 
Funkce spojitá na uzavřeném intervalu je na něm omezená a nabývá na něm svého maxima i minima.

Důkaz

Bude doplněn později.