Derivace jako funkce

Derivace v jednom bodu je dobrá věc, ale skutečně užitečnou se stává teprve když je definována na nějakém intervalu. Je to proto, že smyslem derivace je připodobnění k mocninné funkci a to má praktický smysl pouze na intervalu. Definujeme proto: 

Funkce f(x) má derivaci na intervalu J, jestliže:

  • J je součástí definičního oboru funkce,
  • f(x) má derivaci v každém vnitřním bodě J,
  • má-li J levý krajní bod L, má f(x) derivaci zleva v L,
  • má-li J pravý krajní bod P, má f(x) derivaci zprava v P.
Pokud má funkce f(x) derivaci na intervalu J, je tak na J definována nová funkce
f '(x) jejíž funkčními hodnotami jsou derivace funkce f(x) v odpovídajících bodech J

Je proto třeba rozlišovat dvě věci: 

Bývá to jasné z kontextu. 
 


Příklad

Určete derivaci funkce y = x2.

Řešení

  • Definiční obor funkce y = x2 je (-∞, ∞),
  • funkce y = x2 je v každém bodě spojitá,
  • takže se můžeme pustit do výpočtu derivace v obecném bodě x0
lim (x02 - x2) / (x0 - x) =
x→x0
lim (x0 - x) * (x0 + x) / (x0 - x) =
x→x0
lim (x0 + x) = 2 * x0
x→x0
  • V každém bodu x z definičního oboru je tedy derivace rovna 2 * x,
  • tedy derivace funkce y = x2 na intervalu (-∞, ∞) je funkce y' = 2 * x.