Křivky


Úvod

Křivky jsme si definovali již dříve. V této kapitole si odvodíme pojem křivosti a budeme se zabývat některými druhy křivek.



Křivost


Na obrázku jsou nakresleny dvě křivky:
  • Kružnice k1 působí vyrovnaně v tom smyslu, že mění svůj směr stejnoměrně a proto se jeví všude stejně křivá.
  • Křivka k2 mění svůj směr rozličně a tudíž její křivost je na různých místech různá:
    • V bodě E je velká.
    • V bodě C je menší.
    • V bodě B je ještě menší.
    • Bod D je bodem zlomu, tam zřejmě křivost určovat nebudeme.
Získané poznatky můžeme shrnout:
  • Křivka může být v různých bodech zakřivena různě, závisí to na okolí jednotlivých bodů.
  • Jako měřítko křivosti v určitém bodě bude nejlépe sloužit poloměr kružnice, která se v tom bodě křivky nejtěsněji dotýká.
Křivost křivky s v určitém bodě A určíme takto:
  • Na křivce v okolí bodu A umístíme dva body B a C.
  • Pokud křivka v okolí bodu A je křivkou, tvoří body B, A, C trojúhelník, kterému můžeme opsat kružnici k.

  • Pokud se při přibližování bodů B a C k bodu A bude opsaná kružnice stále více blížit určité kružnici f, řekneme že křivka má v bodě A oskulační kružnici f
  • Jestliže tato oskulační kružnice má poloměr r, potom řekneme, že křivost křivky s v bodě A je rovna 1 / r.
  • Pokud při přibližování bodů B a C k bodu A roste poloměr opsané kružnice nad všechny meze, tj. blíží se k nekonečnu, křivost křivky s v bodě A definujeme rovnou 0.
Příklad

Prozkoumáme elipsu e nakreslenou na obrázku:
  • Její směr se nejrychleji mění v bodech D1 a D1', nejpomaleji v bodech D0 a D0'.
  • Oskulační kružnice jsou zakresleny pro body A, D1 a D2.
  • Pro bod A je znázorněno, jak se oskulační kružnice konstruuje jako procházející třemi body B, A, C, které se se stahují stále blíže k sobě.
  • Grafické řešení této úlohy je velmi obtížné, protože průsečík S3 vzniká jako průsečík tří přímek svírajících velmi ostré úhly. Je-li však znám vzorec křivky, lze tuto úlohu řešit výpočtem


Poznámka
  • Kružnice je křivka, která je sama sobě oskulační kružnicí.
  • Oskulačními kružnicemi se ještě budeme zabývat později.